n^k – n è divisibile sempre per 3 con k dispari ed n,k interi naturali.
Iniziamo a scrivere k come (2m+1) in modo che sia sempre dispari e poi raccogliamo la n. Otteniamo:
n*(n^2m-1) e poi n*(n^m+1)*(n^m-1)
Risolviamo per il caso particolare m=1. Otteniamo n*(n+1)*(n-1) oppure, riordinando (n-1)*n*(n+1). Questo è il prodotto di tre numeri consecutivi (es. 13*14*15) e chiaramente uno di questi è divisibile per 3.
Se m è diverso da 1 abbiamo il caso generale in cui la scomposizione diventa (n^m-1)*n*(n^m+1) in cui non possiamo a prima vista fare lo stesso ragionamento perché non abbiamo n^m ma solo n. Basta osservare però che n^m ed n hanno gli stessi divisori interi (semplicemente i divisori sono elevati alla potenza m) per ricadere nel caso particolare di m=1.
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