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Più o meno.

Le coordinate servono a descrivere una superficie o, in questo caso, un'ipersuperficie a 4 dimensioni (in termini tecnici, una varietà). Ne segue che le coordinate sono in larga parte arbitrarie, e non è affatto detto che con un solo set di coordinate si riesca a mappare tutto l'universo. Per esempio, prendi la terra. Un sistema di riferimento per descrivere punti sulla sua superficie è dato da meridiani e paralleli, però questo sistema di coordinate è singolare al polo nord e al polo sud.

La forma della varietà che descrive l'universo non si conosce, ad esempio potrebbe non avere una frontiera nelle direzioni spaziali, potrebbe essere l'equivalente di una ciambella con due dimensioni in più, o roba del genere. Per il tempo hai ragione, la varietà non si estende indefinitivamente all'indietro nel tempo (se dai retta al big bang, altrimenti no) e intorno a quell'istante la sezione della varietà ortogonale alla direzione "tempo" è nulla. Quindi sì, infinitivamente vicini al big bang l'universo è infinitivamente piccolo (anche se non avendo un confine sembrerebbe comunque infinitamente esteso).

Tieni bene a mente però che le coordinate sono "all'interno" della varietà, non all'esterno. Un'altra cosa che si può fare (da un punto di vista puramente matematico!) è immergere la varietà 4-dimensionale in una varietà più grande (es. 5-dimensionale) capace di contenerla e facilmente mappabile (un parallelepipedo con due dimensioni in più) e usare le cinque coordinate di questa varietà, però una tale descrizione non è molto utile. È esattamente come descrivere la superficie di una sfera non con due coordinate (latitudine e longitudine) ma con tre (es. una terna di assi ortogonali): così facendo la superficie sferica è "immersa" in uno spazio a 3 dimensioni.

Esempio: prendi un universo "giocattolo" con una dimensione spaziale in meno, cioè con 2 dimensioni spaziali e 1 temporale, della forma di una sfera (piena). Ogni punto di questo universo può essere descritto da una terna di coordinate (t,x,y) che soddisfano questa disequazione:

x²+y²+t²<=R²

Le sezioni a t=costante della sfera sono dei cerchi: istante per istante, l'universo è un cerchio, il cui raggio cambia col tempo. L'equivalente del big bang qui è il più piccolo tempo che puoi ottenere, che è pari a -R: infatti per valori più piccoli la disequazione di sopra non è mai soddisfatta, non ha senso parlare di tempi più piccoli di -R. Quali valori per x e y (le coordinate spaziali) sono ammessi quando t=-R? Solo la coppia x=0, y=0: questa "fetta" di universo consiste di un solo punto.
(incidentalmente, qui c'è anche un big crunch, nella posizione t=R, x=0 e y=0)

Se aggiungi una dimensione in più ottieni un universo a "iperpalla": le sezioni a t=costante sono delle sfere piene, l'universo "nasce" a t=-R, è una sfera che si dilata da t=-R a t=0 (come un panettone che si gonfia) e si restringe da t=0 a t=R, fino a "morire" in un big crunch a t=R. L'universo in cui stiamo invece continua a dilatarsi sempre più velocemente, e non sappiamo neanche se sia una palla, un toro o una qualche altra varietà...