La formula del latte è Vacca2O

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22/02/2018 16:18 #13511 da FranZeta

Shavo ha scritto: Capisco che non capisco. Non ho le basi per tradurre il tuo linguaggio.

Eh, allora è colpa mia perchè nelle mie intenzioni dovrei farmi capire anche da chi non ha alle spalle solidi studi matematici. Ci riprovo: le somme di infiniti numeri, che come già detto si chiamano serie, sono il pane quotidiano dell'analisi matematica, dato che ogni funzione analitica può essere scritta in forma di serie. Ne avevo già riportato un esempio qui sopra , quando parlavo della formula magica, in quel post compare la serie associata alla funzione esponenziale. La discriminante tecnica di cui parlavo sta qui: le serie si dividono in "assolutamente convergenti" e non. Assolutamente convergente significa che la serie non ha valore infinito anche se al posto dei termini originali consideriamo il valore assoluto di questi termini (da qui l'avverbio "assolutamente"). Per esempio la serie S=1-1+1-1+... di cui parlavo prima non è assolutamente convergente perchè se la riscriviamo con i valori assoluti dei termini diventa 1+1+1+1+... che diverge a infinito (il valore assoluto è il numero senza segno, cioè è lo stesso numero se questo è positivo, oppure il numero senza meno se è negativo, per cui +1 resta 1 e -1 diventa 1).

Ora la differenza fra i due tipi di serie, assolutamente convergenti e non, è che le prime possono essere trattate come delle somme finite, quindi scambiando l'ordine dei termini non cambia il valore della serie, le seconde invece no, anzi, come già visto a seconda di come rimescoliamo i termini possiamo farle convergere a qualunque numero. Ecco allora che anche volendo dare un senso preciso alla "somma di tutti i numeri" (cosa che si potrebbe anche fare), questa somma infinita sarebbe giocoforza non-assolutamente-convergente e quindi il suo valore dipenderebbe dall'ordine particolare in cui scriviamo i termini.

Visto che la somma 1+1+1+1... l'avevo già buttata lì, e adesso è ritornata, spiego un momento la storia delle due serie dell'aneddoto di Hardy-Ramanujan. Ovviamente 1+1+1+... fa infinito, e lo stesso dicasi di 1+2+3+..., perciò le due scritture:

1+1+1+...=-1/2 ....................... (1)
1+2+3+...=-1/12 .....................

sono due bestialità, prese così alla lettera. In realtà hanno ragione di esistere, e questa ragione è simile a quella che legava la somma 1-1+1-... alla funzione 1/(1+x) dell'aneddoto di Leibniz. In questo caso la funzione da considerare, come già detto, è la zeta di Riemann, così definita:

ζ(x)=Σ n-x ................. (2)

dove la sommatoria Σ è estesa a tutti gli interi positivi 1,2,3,... (un'altra funzione definita tramite una somma infinita...). Scrivendola per esteso i primi termini sarebbero:

ζ(x)=1+1/2x+1/3x+1/4x+...

Si può in effetti dimostrare che ζ(0)=-1/2 e ζ(-1)=-1/12, perciò sostituendo questi particolari valori di x nella (2) otteniamo proprio le "uguaglianze" (1). Per non lasciare nulla all'immaginazione ecco come funziona con x=-1:

ζ(x)=1+1/2-1+1/3-1+1/4-1+...=1+2+3+4+...

L'inghippo sta nel fatto che la funzione ζ può essere scritta nella forma (2) solo se x è maggiore di 1. Per tutti gli altri valori di x bisogna trovare altri modi di definire la funzione, nessuno dei quali conduce ai paradossi delle (1). Lo stesso valeva per la funzione 1/(1+x) della serie di Leibniz, questa definizione era valida solo se -1<x<1, dunque il valore x=1 che avevamo usato era al di fuori (per un pelo!) dal campo di definizione. Niente dimostrazione della creazione del mondo dal nulla quindi.

FranZη

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22/02/2018 21:02 #13526 da Shavo
Risposta da Shavo al topic La formula del latte è Vacca2O
Carissimo, fossimo dal vivo potrei usare la mimica per risolvere il tutto con una risata.... MA se non hai bisogno di una spalla comica ti anticipo che con me ci son poche speranze..

per me è arabo.. (e non mi riferisco al sistema di numerazione)

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23/02/2018 16:27 #13545 da FranZeta
@Shavo
Va bene prometto di non parlarti più delle serie :ok:

FranZη

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23/02/2018 19:20 - 23/02/2018 19:26 #13548 da OrtVonAllen
Quasi mi vergogno affacciarmi a tanta eccellenza, da bimbo, ridicolo, paradossalmente amavo e odiavo numeri primi, il 23 il 5 mi stavano sul cazzo, anzi..poi amavo indiscutibilmente il 13 il mio compleanno, l'11 e il 29..pure il 7 non "nuoce".
..poi il 2? È davvero numero primo?..ignorando lo ZERO piuttosto che virgola...
Mi sdogano citando un libro che ben comprendendo..mi rende "curioso": Il mistero dell'alef di AMIR D. ACZEL Qualcuno lo conosce?
..poi, potrei andare in VACCA...
Ultima Modifica 23/02/2018 19:26 da OrtVonAllen.

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24/02/2018 18:02 #13590 da FranZeta

OrtVonAllen ha scritto: poi amavo indiscutibilmente il 13 il mio compleanno, l'11 e il 29..pure il 7 non "nuoce".
..poi il 2? È davvero numero primo?

Pure io sono nato il 13, di un anno primo. La mia data di nascita si fattorizza in 227 e 577, potrebbe quindi essere usata come supporto per un messaggio tipo quello di Arecibo , un po' più corposo però...

Mi sdogano citando un libro che ben comprendendo..mi rende "curioso": Il mistero dell'alef di AMIR D. ACZEL Qualcuno lo conosce?

Non lo conosco, ma non ho molta simpatia per quel genere di esposizione. Poco tempo fa mi hanno regalato "Storia compatta dell'infinito" di David Foster Wallace, insomma...diciamo che preferisco leggermi Cantor in originale (vabbè, tradotto dal tedesco) piuttosto che le varie interpretazioni postume.

FranZη

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24/02/2018 21:34 - 24/02/2018 21:46 #13597 da OrtVonAllen
Per me i numeri sono stati d'animo, quelli primi poi...non so quantificare matematicamente il perché, ma ne sono certo.
Come sono certo che i numeri primi non raccontano una "vicenda" bidimensionale...è quello l'errore che depista certe "logiche"..ho da qualche parte, dei calcoli che ho fatto (istintivi) che togliendo il 2 e il cinque, la sequenza degli altri, diventava "armonica" fino a poco meno di 10000...
Era un calcolo che affrontava gli spazi "dilatati" senza nessun ragionamento di base..anzi una specie di moltiplicare sottrarre dividere ed aggiungere...ma rimaneva inspiegabilmente logico ripeto senza il due ed il 5...

I numeri sono magici, ma nel rapporto della relatività di una data, si fossero sbagliati di 31un ore? (ci vuole l'accento in questo caso? 31un'ore? anche qui matematica e "arte")...beh...non voglio andare in OT, ma fosse a cavallo con un segno zodiacale piuttosto a un destino numerologico...diventa relativo, gli ebrei "anno" un calendario, noi su una relativa nascita di Cristo..eccetera eccetera...infatti ciò rientra nel mistico numerico.
Ma poi abbiamo quello piatto, fatto di prove..e oggi sono approssimazioni. Se c'è poi lo zero e virgola..diventa il relativo 3,14 o 6,28 un metaforico cerchio che per chi è miope rimane un punto...nel microcosmo non lo so, mi affido a "d'io"..

www.repubblica.it/2009/04/sezioni/scienz...mo/numero-primo.html
www.panorama.it/cultura/libri/un-enigma-...-milione-di-dollari/
Ultima Modifica 24/02/2018 21:46 da OrtVonAllen.

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25/02/2018 15:17 #13628 da FranZeta

OrtVonAllen ha scritto: Per me i numeri sono stati d'animo, quelli primi poi...non so quantificare matematicamente il perché, ma ne sono certo.
Come sono certo che i numeri primi non raccontano una "vicenda" bidimensionale...è quello l'errore che depista certe "logiche"..ho da qualche parte, dei calcoli che ho fatto (istintivi) che togliendo il 2 e il cinque, la sequenza degli altri, diventava "armonica" fino a poco meno di 10000...

Si può discutere se 1 sia o meno primo, nella definizione di numero primo tocca escluderlo esplicitamente altrimenti ci sarebbe dentro. Lo zero si esclude da sè. Sul 2 e il 5 pochi dubbi: senza di loro non esisterebbe nessun Teorema Fondamentale dell'Aritmetica e perciò dell'aritmetica stessa resterebbe ben poco. D'altronde i numeri primi sono decisamente "armonici" con il 2 e il 5, sono infatti legati da una famosa identità (dovuta a Eulero) con la funzione ζ di Riemann introdotta sopra:

ζ(x)=Π 1/(1-p-x)

dove Π indica il prodotto da estendersi a tutti i numeri primi p (2 e 5 compresi). Siccome ζ(x) è una generalizzazione della serie armonica (anzi, per x=1 diventa proprio la seria armonica), non serve poi molto per trovare armonia anche nei numeri primi. Detto en passant Riemann usò la funzione zeta proprio per questioni legate ai numeri primi, fra le altre gli servì per trovare una formula esatta per la funzione enumerativa dei numeri primi , una roba che cercavano dai tempi di Euclide, mica cazzi insomma.

FranZη

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25/03/2018 03:59 #15933 da FranZeta
Questioni serie

Qualche tempo fa si è parlato di serie, ossia di somme infinite, con tanto di esempi tratti dall'analisi. L'idea di sommare infiniti numeri può sembrare piuttosto balzana, e sicuramente scollegata dalla realtà. O una sega mentale a pieno titolo, se preferite. Niente di più falso. Le serie in realtà ci toccano da vicino quotidianamente, dato che la matematica finanziaria ne fa largo uso, ragion per cui i risultati teorici sulle somme infinite influenzano il nostro conto corrente o i nostri finanziamenti.

Per introdurre il tema, iniziamo con qualcosa di soft, cioè con una somma finita. Questa:

(1) Σnk=0 xk = 1+x+x2+...+xn

Abbiamo già visto che questa somma, se prolungata all'infinito, diventa una serie nota come serie geometrica. La sua versione finita, quella qui sopra troncata all'esponente n, prende il nome tecnico di ridotta n-esima, per la cronaca. La somma (1) nella matematica finanziaria è di importanza capitale (non so se avete colto il divertentissimo gioco di parole...) per via della seguente formula:

(2) 1+x+x2+...+xn = (1-xn+1)/(1-x) .................. per x diverso da 1

Prima di spiegare dove stia il collegamento tra formula e finanza vediamo un momento come si dimostra la (2), dato che mi sembra una questione che vale la pena di essere approfondita. Quando si ha a che fare con formule che coinvolgono i numeri naturali (0,1,2 eccetera), nel nostro caso gli esponenti della "x", un metodo di dimostrazione molto utilizzato è quello detto per induzione. Preciso subito che l'induzione matematica non ha nulla a che fare con quella filosofica, come potrete accertarvi fra un istante. Il procedimento si divide in due passi distinti:

I passo: si verifica che la formula è vera per n=0, sostituendo quindi 0 a n risulta:
1=(1-x)/(1-x)
che è banalmente verificata.

II passo: si dimostra che se la formula è vera per n, allora è vera anche per n+1. La prima parte della condizionale è detta ipotesi induttiva. Nel nostro caso:
1+x+x2+...+xn+1=(1-xn+1)/(1-x)+xn+1=(1-xn+2)/(1-x)
L'espressione che sta in mezzo è ottenuta applicando l'ipotesi induttiva, cioè considerando vera la formula per il numero naturale n, mentre l'ultima a destra è la nostra formula con n+2 al posto di n+1, che è proprio quello che dovevamo ottenere dato che anche la somma iniziale aveva l'esponente aumentato di 1 (in altri termini è la formula (2) con n+1 al posto di n). Come volevasi dimostrare.

Dovrebbe essere chiaro come funziona l'induzione matematica: se una formula è vera per n=0, e ogni volta che è vera per un numero n è vera anche per il suo successore n+1, allora la formula è vera per tutti i numeri naturali. Avrete notato che il procedimento è molto semplice e non richiede certo fantasia, a fronte di queste virtù ha però una grave pecca: bisogna già conoscere la formula giusta. L'induzione matematica senza la formula corretta comporterebbe solo una vana ricerca fra le possibili candidate, che sono in numero infinito.

Ecco allora che, questa volta usando un po' di fantasia (e di algebra), possiamo anche trovare un metodo di dimostrazione costruttivo. Iniziamo a definire:

Sn:=1+x+x2+...+xn
Sn+1:=1+x+x2+...+xn+1

I due punti davanti all'= sono una notazione standard che indica che trattasi di uguaglianza per definizione. Risulta abbastanza evidente (fate la prova!) che valgono queste due uguaglianze per la somma troncata all'esponente n+1:

Sn+1 = Sn+xn+1
Sn+1 = 1+x*Sn

dunque i due membri di destra sono uguali tra loro, e risolvendo rispetto a Sn la semplice equazione che ne deriva si ottiene:

Sn=(1-xn+1)/(1-x)

che è per l'appunto la nostra formula (2), già bella e dimostrata dato che l'abbiamo ricavata con passaggi algebrici. Veniamo ora al collegamento tra formula e matematica finanziaria. Tutto parte dal concetto di rendita. Diciamo che alla nascita di vostro figlio decidete di aprirgli un libretto di risparmio, sul quale ad ogni compleanno verserete una certa quota "R", fino al raggiungimento della maggiore età, quando il giovine avrà accesso all'intero capitale. Si spera per pagarsi gli studi e non la droga. La banca presso cui avete aperto il libretto vi garantisce un certo tasso d'interesse "i". Passati i 18 anni, quale sarà il montante (= il capitale accumulato comprensivo degli interessi)?

Si ragiona così: al primo anno versate la quota R che viene capitalizzata (= gli viene calcolato l'interesse) 17 volte, la rata versata al secondo anno è capitalizzata 16 volte, e così via fino all'ultima rata sulla quale non si applica interesse. Astraendo un poco la situazione, e indicando con "n" il numero degli anni in cui si percepisce la rendita, il montante "M" risulta essere:

M=R*(1+i)n-1+R*(1+i)n-2+...+R*(1+i)+R

Se raccogliamo la "R" che compare in ogni termine e chiamiamo x=1+i possiamo riscrivere l'uguaglianza così:

M=R*(1+x+...+xn-2+xn-1)

e la somma tra parentesi è proprio una ridotta (n-1)-esima della serie geometrica, alla quale possiamo applicare la formula (2), ottenendo:

M=R*(1-xn)/(1-x)

e siccome avevamo posto x=1+i, risostituendo alla x il termine contenente l'interesse "i" abbiamo infine:

(3) M = R*( (1+i)n-1) /i

La formula (3) è valida solo se l'interesse è diverso da zero. Tornando alla rendita del pargolo, se per esempio versate 500 euro all'anno e la banca riconosce il 2% di interesse (coi tempi che corrono è grasso che cola), il montante sarà di 10700 euro e qualche spicciolo. Ora immagino qualche rimostranza da parte di chi legge, perchè la situazione della rendita appena esposta non è che sia così diffusa. A me per esempio non è capitato. Però invertendo questo concetto otteniamo quello, molto più diffuso, di pagamento rateizzato (mutuo, leasing, finanziamento, ecc.). Ragionando specularmente a quanto fatto sopra si ottiene quest'altra formula:

(4) A = R*( 1-(1+i)-n) /i

dove "A" sta per l'importo finanziato, "R" è la rata, mentre "i" e "n" hanno lo stesso significato di prima. Spesso la formula (4) si usa per ricavare la rata "R" noti l'importo da finanziare "A", l'interesse e la durata del finanziamento. Sempre a titolo d’esempio, con gli stessi valori usati sopra per rata, interesse e numero di anni, l’importo finanziato “A” risulta essere di 7496 euro.

Finora abbiamo incontrato solo somme finite, quindi non è stata ancora giustificata l'affermazione iniziale che parlava di somme infinite legate a questioni finanziarie. Ma ormai ci siamo, perchè le serie nella finanza compaiono contestualmente ai prestiti delle banche, e adesso vediamo come. Come è noto la banca è tenuta ad avere sempre a disposizione una certa parte dei depositi dei correntisti, per ovvie ragioni. Questa frazione è stabilita dalla riserva frazionaria, che altro non è che la percentuale di denaro effettivamente a disposizione dei correntisti. Detto in altri termini, se andassimo tutti insieme a prelevare tutti i soldi sul conto, è quello che troveremmo effettivamente. Attualmente la riserva frazionaria è all'1%. La banca dunque conserva in cassa questa quota "r" e usa per prestiti, mutui, finanziamenti la restante quota 1-r (ogni volta che nomino delle percentuali vanno intese in senso decimale: 1%=0,01).

Fin qui tutto ok (si fa per dire, sapere che la nostra banca ha solo l'1% di quanto è stato versato non è una cosa rassicurante...), se non fosse che questa quota usata per i prestiti finisce invariabilmente in un'altra banca (o anche nella stessa, perchè no), perciò una nuova frazione (1-r)*(1-r)=(1-r)2 verrà prestata, finirà in un'altra banca e così via, potenzialmente all'infinito. Dunque la prima banca ha dato in prestito la quota 1-r, la seconda (1-r)2, la n-esima (1-r)n, e il limite a cui tende il totale prestato è proprio una serie geometrica con x=1-r:

(1-r)+(1-r)2+... = (1-r)/r

che deriva direttamente dalla formula già vista in un commento precedente:

1+x+x2+... = 1/(1-x)

che a sua volta è il limite dalla (2) quando n tende a infinito. Quindi con la riserva frazionaria all'1% il totale prestato dal sistema bancario tende a 0,99/0,01=99 volte il totale depositato negli istituti di credito. Siccome se i soldi non sono depositati, e non sono nelle disponibilità di nessuno (nessuno diverso da un istituto di credito), tecnicamente non esistono, ne segue che questa massa di 99 volte il capitale versato è stata creata dal nulla. A riprova di ciò, il capitale in cassa nel sistema bancario è comunque sempre 1 (indipendentemente dalla riserva frazionaria in vigore), e costituisce il capitale effettivamente esistente. Attenzione, questa creazione di denaro non ha niente a che fare con il famoso Q.E. di Draghi, che è sì denaro creato dal nulla, ma da un altro nulla rispetto a quello della riserva frazionaria.

FranZη

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30/03/2018 18:08 #16337 da FranZeta
Una piccola precisazione al post precedente. Se qualcuno provasse a usare la formula (4) per confrontarla magari con un finanziamento che ha in essere, potrebbe trovare qualcosa che non torna. Non essendo entrato nei dettagli ho evitato di specificare che normalmente il tasso d'interesse e la rata non sono direttamente confrontabili, dato che il primo è generalmente annuale mentre la rata di solito è mensile. Quindi la formula (4) permette di ricavare la rata annuale di un finanziamento, se volete la rata mensile dovete dividerla per 12. In definitiva, noto l'importo da finanziare "A", il numero di anni del finanziamento "n" e il tasso d'interesse annuale "i" (è il famoso TAN), la rata mensile "R12" si ricava così:

R12=i*A/( 12-12*(1+i)-n)

FranZη

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10/04/2018 17:59 #16798 da milvalos
FranZn,
premesso che di matematica mi restano solo reminiscenze liceali, ti suggerisco un tema che seguirei o almeno proverei a seguire:
---una recensione di Les Principes du Calcul Infinitésimal di René Guénon,
electrodes.files.wordpress.com/2008/12/g...infinitc3a9simal.pdf

Grazie, comunque, della risposta, fosse pure negativa.

mil

[mlv ma10ap18 17e59]

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11/04/2018 01:46 #16819 da FranZeta
@milvalos

Ciao, non ho capito bene se ti interessa discutere del calcolo infinitesimale in sè, o della sua interpretazione da parte di René Guénon...
...nel secondo caso dovrei prima leggermi il malloppo! Comunque ho letto la prima parte e posso già dirti che si tratta di filosofia, parlarne in termini matematici non avrebbe molto senso. Inoltre, essendo stato pubblicato nel 1946, sicuramente gli mancava tutta la parte dell'analisi non standard, che è stata sviluppata solo a partire dagli anni '60. Ebbene, non so come l'avrebbe presa Guénon, ma l'analisi non standard giustifica formalmente tutte le incongruenze che -giustamente- rileva nei concetti di Leibniz. Degli infiniti matematici ne parlavo già qui , anche in questo caso il buon René non sarebbe per nulla d'accordo.

Però permettimi brevemente che sia io a contestare un argomento di Guénon, così da chiarire cosa intendo con filosofia vs matematica (in realtà sono solo termini convenzionali, dato che tecnicamente la matematica è parte della filosofia). Nel post linkato sopra vedrai che parlo della relazione biunivoca che intercorre tra numeri naturali e numeri pari, cioè ad ogni numero naturale 0,1,2,... si può associare biunivocamente un unico numero pari. Ora per Guénon questo comporta una palese contraddizione, dato che, dice, per ogni numero pari ci sono due numeri naturali (pag.23). Beh, questo non è vero. Innanzitutto ricordo che l'associazione biunivoca fra i due insiemi è data dalla seguente funzione:

n ---> 2n

o se preferiamo, cambiando notazione: f(n)=2n.

Guénon dice che, dato che i numeri pari sono intervallati sempre da un dispari nella successione dei naturali, sono per forza la metà dei numeri naturali stessi. Se avessimo a che fare con insiemi finiti sarebbe senz'altro vero, ma sarebbe altrettanto vero che prendendo come insieme di partenza quello più piccolo, data qualsiasi funzione iniettiva tra questo e l'insieme più grande, resteranno sempre fuori metà degli elementi di quest'ultimo. Concretamente: se i due insiemi in questione sono {1,2,3} e {1,2,3,4,5,6}, ogni funzione iniettiva (cioè che ad elementi diversi del primo insieme associa elementi diversi del secondo) fra il primo e il secondo mi lascerà tre elementi del secondo senza corrispondenza nel primo. Una funzione siffatta potrebbe essere:

1 ---> 2
2 ---> 4
3 ---> 6

...che lascia 1,3,5 senza corrispondenza. In effetti possiamo prendere questa proprietà come definizione di "essere il doppio dell'altro" per insiemi finiti, e sostanzialmente è proprio quello che si fa quando si definiscono i numeri naturali in termini di logica formale. Ma quando un insieme è infinito come facciamo a dire che "è il doppio di un'altro"? L'unico modo logicamente consistente (che però Guénon non considera...) è estendere la definizione data per il caso finito agli insiemi infiniti:

L'insieme A ha il doppio degli elementi dell'insieme B se e solo se ogni funzione iniettiva tra B e A lascia senza corrispondenza un insieme di elementi C che ha tanti elementi quanti B.

Ora questa definizione è palesemente non soddisfatta quando poniamo A=numeri pari e B=numeri naturali, lo sappiamo già poichè la funzione f(n)=2n definita sopra è biunivoca (=iniettiva+suriettiva), vale a dire che anche la sua inversa f-1(n)=n/2 è iniettiva (e pure suriettiva), ma quest'ultima è proprio una funzione iniettiva dai numeri pari ai numeri naturali. Insomma, per quanto possa sembrare strano, se vogliamo sostenere che per ogni pari esistono due numeri naturali, dobbiamo inventarci una regola ad hoc che diventerebbe paradossale se applicata ad un insieme finito, che credo sia l'ultima cosa che avrebbe desiderato René Guenon mentre scriveva il suo saggio.

Vabbè, forse non sono stato molto breve, spero che si sia capito qualcosa...comunque per quanto riguarda il calcolo infinitesimale ne parlerò volentieri, magari senza coinvolgere "l'esoterismo di René Guenon" (e i Mantra e gli Hare Hare a mille lireeee...).

PS Non so se si era capita la citazione finale:

FranZη

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11/04/2018 18:44 #16851 da milvalos
FranZeta,
grazie della generosa risposta !, e mi chiarisco.

Matematici non ne conosco per cui, avendo apprezzato quel poco che potevo dei tuoi post, pensai bene di cogliere al volo un giudizio su un autore cui tribuisco un grande merito, sia pure limitatamente alla distinzione tra infinito ed indefinito; pure sperando che la sua posizione basilare, chiara fin dall’incipit che hai letto, se a te già ignota, destasse almeno curiosità, con ciò rendendo possibile uno scambio.

Diversamente, mi sembra che, pur considerando la matematica parte della filosofia, il tuo interesse sia propriamente matematico e ben lontano dagli esoterismi e dalle religioni in cui la filosofia tante volte sconfina.

Apprezzo tale posizione e mi limito ad osservare da una parte che, mentre la matematica è stata capace di darci un linguaggio generale che ci permette misure pratiche comuni (non sempre a proposito), la filosofia (o, meglio, le filosofie) è un insieme di sette ben poco diverse, in fondo, dalle religioni e dalle parti politiche, alle quali l’assimila anche il prestigio di personalità superiori.

E qui concludo puntando al Tema, la ricerca di un linguaggio comune a partire, ovviamente, dalla nozione più astratta.


milvalos

[mlv me11ap2018 18e44]

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12/04/2018 15:29 #16875 da FranZeta

milvalos ha scritto: pensai bene di cogliere al volo un giudizio su un autore cui tribuisco un grande merito, sia pure limitatamente alla distinzione tra infinito ed indefinito; pure sperando che la sua posizione basilare, chiara fin dall’incipit che hai letto, se a te già ignota, destasse almeno curiosità, con ciò rendendo possibile uno scambio.

Sì, non conoscevo questa posizione sull'infinito. Non mi piace però la scelta del termine "indefinito", sicuramente in ambito matematico è infelice, dato che a un certo punto dovremmo metterci a dare la definizione di "indefinito"...
Più che altro non sono d'accordo sulle premesse, cioè quando afferma che la sua distinzione non è solo una questione linguistica. A mio avviso lo è, non avrei nessun problema a chiamare l'infinito matematico in un altro modo (Cantor stesso parlava di insiemi transfiniti, oggi si usa indifferentemente l'uno o l'altro termine), ma ciò non ne modificherebbe la sostanza. Esistono molti altri termini tecnici matematici che se interpretati semanticamente porterebbero a discussioni infinite, per esempio nell'algebra moderna si parla di anelli, corpi, campi, e addirittura ideali senza che ci siano particolari connessioni tra significato tecnico e significato metalinguistico (senza contare che molti di questi termini vengono coniati in lingue diverse, e da queste poi semplicemente tradotti letteralmente). Di contro esistono anche termini tecnici molto evocativi, per esempio quando si parla di numeri iperreali (di cui ho già parlato e parlerò ancora in relazione al calcolo infinitesimale), si definiscono monade l'insieme dei numeri infinitamente vicini a un numero dato, e galassia l'insieme dei numeri a distanza finita da questo.

In definitiva, dal mio punto di vista, la discussione sull'infinito si potrebbe risolvere in modo semplice e indolore specificando che l'Infinito, quello unico e metafisico di Guénon, lo indichiamo con la maiuscola, mentre tutti gli altri possibili infiniti, compresi quelli matematici, con la minuscola, un po' come si fa con Dio e ogni altro dio.

FranZη

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13/04/2018 21:39 #16913 da milvalos
FranZeta, mi rispondi:

Più che altro non sono d'accordo sulle premesse, cioè quando [Guénon] afferma che la sua distinzione non è solo una questione linguistica.

Per me qui Guénon ha ragione essendosi reso conto, da matematico ma non solo, quale era, che in matematica si chiama infinito, vale a dire non-finito, quello che non-finito non è per il fatto stesso di essere riferito a qualcosa, vale a dire all’una o all’altra finitezza, nel nostro contesto i numeri.

Assodato questo possiamo anche chiamare il significante di infinito Caio e quello di non-infinito Sempronio. Per me andrebbe bene purché le inevitabili proprietà dei significanti, Caio e Sempronio, appunto, non finissero per confondere i rispettivi significati stessi, cosa molto facile tra infinito ed indefinito, termini simili e perciò distinguibili solo per lessicale convenzione.

Più avanti scrivi:

In definitiva, dal mio punto di vista, la discussione sull'infinito si potrebbe risolvere in modo semplice e indolore specificando che l'Infinito, quello unico e metafisico di Guénon, lo indichiamo con la maiuscola, mentre tutti gli altri possibili infiniti, compresi quelli matematici, con la minuscola, un po' come si fa con Dio e ogni altro dio.

Ti farò sorridere informandoti che in oltre quaranta discussioni impostate su Facebook tra il 2010 ed il 2011, e, giù di lì, in altre occasioni, pazientissimamente mi premurai di precisare che scrivevo infinito sempre e soltanto con l'iniziale minuscola a scanso di fuorvianti personalizzazioni. Mie preferenze a parte, la tua proposta è ineccepibile, salvo en passant notare che ...

... l'analogia tra i rapporti, da una parte quello tra Infinito ed infinito (nel senso di non-Infinito), dall'altra quello tra Dio e gli dei, andrebbe presa con le pinze perché gli dei non sono realtà fondamentali neanche al loro stesso vertice (Indra, Zeus, Iuppiter) o, come nel caso del dio cristiano, creatore dal nulla, sono teocratiche pastorali invenzioni della logica più elementare noncuranti.

Diversamente, il rapporto tra infinito ed indefinito (o tra Infinito ed infinito, come preferisci) consiste nel considerare l'indefinito nullo per l'infinito analogamente alla nullità dell'insieme dei numeri nello zero aritmetico.

Di conseguenza, una discussione sull'infinito potrebbe incominciare col tentare di stabilire se sia opportuno includere nel proprio pensiero il significato senza limite alcuno o pure no.

Per finire, allontanandomi con ciò dall'aspetto propriamente matematico che più ti sta a cuore, e messo da parte Guénon (i cui meriti nei miei confronti non eccedono un posto di riguardo in archivio, dal quale l'ho tirato fuori, confesso, per tentare di attaccare bottone) e l'intera sua métaphysique traditionnelle, metto in evidenza, che il significante infinito, limitato dalla sua stessa definizione come qualunque altro significante, punta, come qualunque altro significante ad esso stesso convenzionalmente equipollente, all'unico significato non concettuale, vale a dire all'assenza di limite alcuno, diversamente da tutti gli altri significanti i quali invece puntano a limiti, veri o presunti tali che si voglia.


milvalos

[mlv ve13ap18 21e39]

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15/04/2018 00:43 #16951 da FranZeta

milvalos ha scritto: Per me qui Guénon ha ragione essendosi reso conto, da matematico ma non solo, quale era, che in matematica si chiama infinito, vale a dire non-finito, quello che non-finito non è per il fatto stesso di essere riferito a qualcosa, vale a dire all’una o all’altra finitezza, nel nostro contesto i numeri.

Mah, già qui non sono d'accordo, perchè per esempio una possibile definizione di insieme infinito è questa:

Un insieme è infinito se e solo se è possibile metterlo in relazione biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.

Questa è una definizione matematica ben posta che non fa nessun riferimento agli insiemi numerici. Possiamo anche ignorare l'esistenza dei numeri naturali, eppure non avremmo difficoltà ad applicare la definizione, che richiede solo i concetti di insieme, sottoinsieme e relazione biunivoca. Spesso, forse un po' semplicisticamente, si definisce la matematica come la scienza che studia le relazioni astratte fra insiemi, quindi se non accettiamo gli enti necessari alla definizione qui sopra non accettiamo la matematica tout court. Poi come già detto possiamo anche usare il termine transfinito in luogo di infinito, ma non è cambiandogli nome che modifichiamo le proprietà degli insiemi che verificano la definizione data.

Ciò detto rimanderei la discussione sull'infinito-transfinito (ma indefinito non lo userò mai come termine alternativo!) a quando avrò provato ad esporre una breve introduzione al calcolo infinitesimale, così da avere a disposizione qualche esempio concreto.

FranZη

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15/04/2018 15:27 #16953 da milvalos
FranZeta,

mi sembra di non essermi spiegato perché, per me, non è questione di terminologia né di rifiutare questo o quell'ente matematico ma di constatare che la matematica usa il termine infinito a proposito di entità qualsivoglia la cui definizione è diversa dal significato senza limite alcuno. Tale constatazione non impegna nessuno a rinunciare alla terminologia preferita mentre chiarisce il qui pro quo dal momento che il termine infinito, nell'uso ricco di molti significati, quello matematico incluso, etimologicamente riflette con precisione il significato di senza limite alcuno che in matematica (e nel senso comune) manca (per ragioni che potrebbero ben essere generalmente condivisibili). Tantomeno detta constatazione impegna ad accettare come reale, utile, o altro il significato senza limite alcuno che, a venticinque secoli di vuota distanza, voglio riaffermare.

Esemplificando, imaginiamo un Comune che, con regolare delibera, abbia cambiato il termine divieto con permesso. I malcapitati automobilisti in sosta potranno difendersi davanti al giudice di pace perché conoscono il significato di permesso diversamente dagli altri che, orbi del significato senza limite alcuno, erroneamente accetteranno come non-finitezza l'assenza di limiti eccetto almeno uno.

Infatti, a lume di naso, qualunque ente la matematica assuma, tale ente almeno un limite pur l'avrà, o mi sbaglio ?

Riporto all'attenzione la risposta :

Mah, già qui non sono d'accordo, perchè per esempio una definizione di insieme infinito è questa: [...] che non fa nessun riferimento agli insiemi numerici. Possiamo anche ignorare l'esistenza dei numeri naturali, eppure non avremmo difficoltà ad applicare la definizione, che richiede solo i concetti di insieme, sottoinsieme e relazione biunivoca. Spesso, forse un po' semplicisticamente, si definisce la matematica come la scienza che studia le relazioni astratte fra insiemi, quindi se non accettiamo gli enti necessari alla definizione qui sopra non accettiamo la matematica tout court.

milvalos

[mlv do15ap18 15e27]

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15/04/2018 16:48 #16954 da FranZeta

milvalos ha scritto: Infatti, a lume di naso, qualunque ente la matematica assuma, tale ente almeno un limite pur l'avrà, o mi sbaglio ?

I limiti matematici sono sempre relativi a qualcos'altro, non esiste nulla che assomigli all'infinito "senza limite alcuno". Ma non è nemmeno detto che tale concetto abbia senso, sia pure a livello metafisico. Potrebbe per esempio coincidere con Dio, e non mi riferisco al dio cristiano o agli dei pagani, ma all'intelligenza da cui tutto ha origine. La quale, volendo essere onesti, potrebbe anche non esistere.

Tornando alla matematica: l'intervallo (0,1) è limitato? Certamente sì. E' insiemisticamente finito? Certamente no. Una retta geometrica è limitata? Certamente no. Insiemisticamente è più grande dell'intervallo di cui prima? Assolutamente no. In matematica il termine infinito può avere svariati significati a seconda del contesto, ma questi significati comprendono sempre un "senza limite alcuno" rispetto a qualcosa. "Senza limite alcuno" rispetto a tutto non è una definizione matematica accettabile, e secondo me anche dal punto di vista metafisico lascia parecchio a desiderare. Per dargli un senso dovresti prima definirmi cos'è "tutto", e ci sono fondati sospetti per pensare che questo tutto costituisca proprio l'infinito che vorremmo definire. Tra l'altro quando si considerano insiemi troppo "grandi" all'interno della logica formale iniziano a saltare fuori paradossi, questo porta alla distinzione fra "insieme" e "classe", il primo può essere considerato come elemento di un nuovo insieme, la seconda no.

Un esempio di classe propria è "l'insieme di tutti gli insiemi". In che rapporto si porrebbe questa classe rispetto all'Infinito (d'ora in poi coerentemente col mio pensiero inizio a scriverlo con la maiuscola)? E' più grande o più piccola? Da un lato dovrebbe essere più piccola, visto che l'Infinito è uno solo ed è l'unico ente immaginabile senza limite alcuno (sto ovviamente facendo mio il pensiero di Guénon), d'altra parte cosa mi impedisce di concepire la contrapposizione fra Infinito e Nulla? Bene, allora posso concepire un insieme che consta di due elementi: l'Infinito e l'insieme vuoto. Questo insieme appartiene alla classe di tutti gli insiemi, che quindi risulterebbe "più grande" dell'Infinito.

Da questi discorsi non se ne esce più, per questo preferisco restare nel terreno matematico. Una volta poste le definizioni non c'è più alcun dubbio sull'ente matematico considerato, questa è la prerogativa della matematica stessa. Poi uno può non accettare l'esistenza dell'infinito attuale, anche solo a livello astratto, e considerare solo l'infinito potenziale. Questa è la posizione degli antichi, ma anche di molti illustri moderni, da Cantor in poi questa visione epistemologica passa sotto il nome di intuizionismo. Va anche detto che l'intuizionismo, se perseguito fino alle estreme conseguenze, comporta la rinuncia al principio del terzo escluso, e con ciò non si perde solo la teoria degli insiemi di Cantor, ma gran parte della matematica conosciuta.

FranZη
Ringraziano per il messaggio: Marauder

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16/04/2018 22:51 #17008 da milvalos
FranZeta,

col rispondermi

I limiti matematici sono sempre relativi a qualcos'altro, non esiste nulla che assomigli all'infinito "senza limite alcuno".

riconosci, com'è del tutto ovvio anche ai non matematici, che la matematica (come qualunque espressione del comune buon senso e delle sue varie estensioni) si occupa di enti ciascuno dei quali almeno un limite non può non averlo, per esempio, il limite di essere proprio quell'ente e non un altro.

Imagino, con ciò, che concordi che attribuire infinitezza ad un ente infinito solo in parte, per esempi lo spazio e il numero, non sia il massimo della terminologica accuratezza; difetto peraltro giustificabile con l'uso e questo, almeno per me, spiegabile con la vacatio infiniti inaugurata da Anassimene e terminata, per quanto credo di saperne, il secolo scorso da Guénon nel modo per me inaccettabile sul quale sorvolo.

Possiamo perciò entrare nel nocciolo del tema del senza limite alcuno del quale affermi:

Ma non è nemmeno detto che tale concetto abbia senso, sia pure a livello metafisico.

Come previsto, dissento in base allo stesso argomento di Anassimandro il quale, con parole mie, sostiene che un proposto fondamento del cambiamento è insufficiente se ha sia pure un solo limite per il fatto che quel limite, invece di permettere lo scambio tra i limiti di cui il cambiamento è costituito, con gli stessi confliggerebbe. Il pensiero di Anassimandro ci è pervenuto di seconda e di terza mano. Le reliquie, con traduzione parallela, sono accessibili a

ancientsource.daphnet.org/

più precisamente a

ancientsource.daphnet.org/agora_show_tra...cription%3Fid%3D3407

dove si legge

λέγει γοῦν διότι ἀπέραντόν ἐστιν, ἵνα μηδὲν ἐλλείπηι ἡ γένεσις ἡ ὑφισταμένη.

e, a fronte,

E dice che è illimitato perché non venga meno la generazione che ne consegue.


Traduzione per me errata nel termine generazione (γένεσις) che invece traduco con cambiamento perché qui la teologia e la biologia non c'entrano un bel nulla mentre il mio traducente è attestato dal Rocci in Platone, sia pure indirettamente, divenire, termine fuorviante perché supponentemente predica l'idea di provenienza, tutta da dimostrare. In realtà constatiamo il cambiamento e nulla altro.


INOLTRE
il senza limite alcuno, pur, ovviamente, non avendo alcun senso (senso, infatti, chiama limite) è importante non solo a quello che chiamo il grado più astratto del pensiero (GAP) ma anche a qualunque altro perché liquefa la fissazione identitaria prima animalmente / neurologicamente, poi umanamente / culturalmente inevitabile.


milvalos

[mlv lu16ap18 22e51]

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29/04/2018 17:07 #17324 da FranZeta
Calcolo Infinitesimale (parte prima)

Ovvero Berkeley vince il primo set, Leibniz poi vince il match quando è nella tomba da due secoli

Dopo un po' di filosofia tornerei alla matematica pura, con il già promesso discorso sul calcolo infinitesimale. Siccome l'argomento sarebbe davvero vasto ho messo "parte prima" (così arriva prima, direbbe il Bergonzoni...) più che altro per dare l'impressione che tutto quello che non dico qui potrà essere affrontato più avanti, ma non è affatto detto che ci sarà una parte seconda. Dunque sistemiamoci bene sulla sedia e buttiamoci a bomba sul calcolo infinitesimale.

Iniziamo subito col dire che il calcolo infinitesimale (d'ora in poi CI) è la base di quella vasta disciplina matematica nota come Analisi, tanto che in inglese si parla di calculus tout court per riferirsi al CI. A sua volta il CI si può dividere in due discipline fondanti, il calcolo differenziale e il calcolo integrale. Due definizioni piuttosto rozze ma buone per i nostri scopi di queste discipline sono:

calcolo differenziale <----> trovare la tangente (in un punto) ad una curva

calcolo integrale <---> trovare l'area racchiusa in una curva

Entrambi trovano prodromi nella geometria antica, ma solo il calcolo integrale fu sviluppato in modo simile a quello moderno, ovviamente dai greci, in particolare Archimede fu il campione massimo della disciplina. Oltre al famoso trattato Della sfera e del cilindro, a lui si devono tutta una messe di altri risultati che coinvolgono aree e baricentri di figure curve, e fino a tempi relativamente recenti non si sapeva nemmeno bene come avesse fatto a trovare tali risultati. Poi agli inizi del '900 si scoprì un palinsesto contenente un suo trattato perduto, il Metodo, e a quel punto fu chiaro che Archimede avrebbe potuto tranquillamente scrivere un moderno testo di Analisi Matematica, almeno per quanto riguarda la parte integrale.

Vediamo un esempio di "integrazione" all'antica: il calcolo dell'area del cerchio. I greci, sfruttando la loro conoscenza dei poligoni regolari, notavano che indipendentemente dal numero dei lati, l'area di questi aveva sempre la stessa espressione:

A=a*P

Dove a è l' apotema e P il semiperimetro (è un facile esercizio dimostrare questa formula, guardate un po' l'immagine seguente:


tenendo conto che l'apotema è indicato con r).

Siccome più aumentiamo il numero di lati di un poligono regolare più questo si avvicina alla circonferenza circoscritta (e questa a sua volta si avvicina a quella inscritta), possiamo concludere che la formula resta valida anche per la circonferenza, che in tal modo viene vista come un poligono regolare con infiniti lati (primo infinito!). Dato che l'apotema diventa il raggio del cerchio e il semiperimetro la semicirconferenza, ecco che a*P ---> r*(π*r)=πr2, e abbiamo la nota formula dell'area del cerchio. A dirla tutta i greci avrebbero lasciato indicato π come il rapporto fra circonferenza e diametro, dato che ai loro tempi il problema della "quadratura del cerchio" era ancora più che mai aperto.

Questo modo di ragionare, che viene anche detto metodo di esaustione, è sostanzialmente lo stesso che si usa nel calcolo integrale moderno, con la differenza che oggi sappiamo definire rigorosamente il concetto di passaggio al limite, cioè quel balzo che dal finito ci porta all'infinito (secondo infinito!). In realtà il concetto classico di limite non ricorre all'infinito attuale, ma solo a quello potenziale (terzo+quarto infinito!), quindi non serve riprendere da capo le discussioni fatte sopra, però come vedremo fra poco il modo di ragionare dei primordi del calcolo differenziale era ben diverso, e molto più simile a quella variante del CI che passa sotto il nome di Analisi non standard.

Ma andiamo per gradi. Come già detto il calcolo differenziale è l'altra metà del CI, il rapporto fra questo e il calcolo integrale si chiarisce solo nel 1600 quando, diversi matematici fra i quali spicca l'allievo di Galileo Evangelista Torricelli (quello del barometro), scoprono quello che oggi è noto come Teorema fondamentale del calcolo integrale, che è talmente semplice che intanto lo riporto e poi magari più tardi lo spiego:

La derivata della funzione integrale è la funzione integranda.

Al di là della terminologia, il teorema afferma semplicemente che calcolo differenziale e integrale sono uno l'inverso dell'altro, e la cosa è piuttosto sorprendente se consideriamo il significato originario delle due operazioni associate ad essi (derivazione = trovare la tangente, integrazione = trovare l'area). Con questo risultato in tasca, e con la giusta dose di genio puro e cristallino, sul finire del secolo XVII Newton e Leibniz, indipendentemente e quasi contemporaneamente, scoprono i principi del calcolo differenziale. Va anche detto che entrambi si erano basati sul metodo utilizzato da Fermat per trovare le tangenti. Insomma, qui sono coinvolti pezzi da 90 della storia della matematica.

Vediamo subito come funziona questo calcolo differenziale, senza nessun preambolo, anche perchè ce ne sarebbero parecchi da fare e li trovate già tutti in un qualunque testo di Analisi 1. Mettiamo un disegnino per aiutarci:



Mi serve intanto ricordare che l'equazione di una retta passante per il punto (x0,y0) del piano cartesiano è la seguente:

y-y0=m*(x-x0)

La "m" che compare nell'equazione, detta coefficiente angolare, è il rapporto Δy/Δx delle quantità il cui significato è spiegato dalla figura. Ora ci occuperemo solo di funzioni (continue) y=f(x), il grafico della funzione è in generale una curva e il nostro intento è trovare la tangente alla curva in un suo qualsiasi punto P0=(x0,y0). L'idea è che se prendiamo la retta passante per P0 e un altro punto P sul grafico della funzione, questa si avvicinerà tanto più alla tangente quanto più P si avvicina a P0:



Siccome P0 sappiamo a priori che punto sia, l'unica cosa che ci serve per individuare la retta tangente è il coefficiente angolare "m", cioè il rapporto Δy/Δx quando queste quantità tendono a zero. A questo punto seguiamo Leibniz che ci dice: in luogo di Δx e Δy consideriamo le nuove quantità infinitesime (quinto infinito!) dx e dy, che hanno grossomodo lo stesso significato dei "lati della circonferenza" quando vediamo quest'ultima come un poligono regolare con infiniti lati, e facciamo il rapporto:

df(x0)/dx= (f(x0+dx)-f(x0))/dx

Notiamo che se prendiamo Δx invece di dx il rapporto qui sopra è precisamente Δy/Δx. Questo rapporto, se esiste, è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione f punto x0 (cioè al grafico di f nel punto P0). Dato che x0 è un punto generico, possiamo anche omettere l'indice e scrivere semplicemente:

(1) df(x)/dx=(f(x+dx)-f(x))/dx

che ci fornisce una nuova funzione, f'(x)=df(x)/dx, detta derivata di f, la quale punto per punto ci dà il coefficiente angolare della retta tangente ad f. NOTA LINGUISTICA: dx,dy, ecc. si leggono “de-x, de-y “, con pronuncia tedesca, mentre i rapporti dy/dx, df/dx ecc. si leggono “de-y-in-de-x, de-f-in de-x” e non “de-y-su-de-x,…” come se fosse un normale rapporto. Ciò avrà senso (se sarò bravo a spiegarmi) più avanti.

La cosa, vista così, può lasciare molto perplessi, però funziona! Facciamo un esempio pratico, prendiamo f(x)=x2 e scriviamo il rapporto (1) corrispondente a questa funzione:

((x+dx)2-x2)/dx = (x2+2xdx+dx2-x2)/dx = 2x+dx

Ci ritroviamo quindi con l'espressione 2x+dx, ma siccome dx è un infinitesimo, cioè è "più piccolo di qualsiasi numero", facciamo semplicemente finta che non ci sia e otteniamo:

(x2)’=2x

L'apostrofo dopo la funzione è un'altra notazione per df/dx e si legge "f primo". Potete controllare, o fidarvi sulla parola, ma in effetti se calcolate il coefficiente angolare della retta tangente a y=x2 (il cui grafico è una parabola) in un qualsiasi punto x, troverete che è proprio 2x. Proviamo con f(x)=x3:

((x+dx)3-x2)/dx =(x3+3x2dx+3xdx2+dx3-x3)/dx=3x2+3xdx+dx2

Anche qui, ignorando I termini che contengono dx e sue potenze, resta solo 3x2. Abbiamo dunque:

(x3)’=3x2

Non è difficile dimostrare che in generale per i monomi vale:

(2) (xn)’=nxn-1

Così come è immediato vedere che la derivata di una somma è la somma delle derivate. La formula (2) è ben più utile di quanto possa apparire, visto che ogni funzione analitica (sono le comuni funzioni che "hanno un nome", come l'esponenziale, il logaritmo, le funzioni trigonometriche, ecc.) può essere scritta in forma di serie di potenze, a questo punto si può derivare semplicemente derivando ogni termine, e i singoli termini sono proprio monomi. Prendiamo la funzione esponenziale f(x)=ex e calcoliamone il rapporto incrementale dato dalla (1):

(e(x+dx)-ex)/dx=(exedx-ex)/dx=ex ( (edx-1)/dx) =ex

Il risultato segue dal fatto che il termine nella parentesi più grossa nella penultima uguaglianza è un limite notevole, che si dimostra essere uguale a 1. Quindi la derivazione lascia invariata la funzione esponenziale, e di conseguenza vale lo stesso anche per l'integrazione. Si tratta dell'unica funzione che gode di tale proprietà. Tempo addietro (post #10628) avevamo già incontrato l'espressione della funzione esponenziale come serie di potenze:

ex=Σ N xn/n!=1+x+x2/2+x3/(2*3)+x4/(2*3*4)...

Se proviamo a derivare termine a termine questa serie, usando la formula (2) e il fatto che la derivata di una somma è la somma delle derivate, abbiamo:

d(ex)/dx=0+1+x+x2/2+...=ex

...cioè lo stesso risultato ricavato sopra, e ciò è cosa buona e giusta. Il primo termine del membro centrale è 0 per via del fatto che la derivata di un numero (ossia di una funzione costante) è sempre 0, come si può facilmente verificare sostituendo una costante alla f(x) della formula (1). La proprietà della funzione esponenziale di restare invariata per derivazione/integrazione è cruciale non solo nell'ambito dell'Analisi matematica, ma anche nella Fisica e nell'Ingegneria, per la ragione che vado ad esporvi. Potrebbe lasciare perplessi tutta questa voglia di scoprire la tangente ad una curva, cioè, ad un certo punto, ma chissenefrega...E invece no! Ce ne frega eccome, infatti prendiamo la traiettoria di un punto che si muove nello spazio, anzi, facciamo in un piano per semplificare un po', tanto i concetti sono gli stessi. Sia allora:

s(t)=(x(t),y(t))

la legge oraria del punto, cioè la funzione che, istante "t" per istante, ci dà le coordinate cartesiane x(t) e y(t) del punto. Fatto salvo per il nome diverso delle variabili indipendenti e dipendenti, siamo nella stessa situazione di prima, solo che adesso quella che chiamavamo "x" è diventata il tempo "t", e quella che era f sono le coordinate x e y espresse come funzioni del tempo. In definitiva possiamo ancora pensare di derivare queste funzioni, rispetto a "t" stavolta, ottenendo le due nuove funzioni:

x'(t)=dx(t)/dt
y'(t)=dy(t)/dt

Ora, dato che s(t) era la posizione istante per istante del punto in movimento, qual è il significato fisico della nuova funzione s'(t)=(x'(t),y'(t)) ottenuta per derivazione?

Siete pronti? Pronti pronti (quelli che lo sanno non suggeriscano...)?

E' la velocità istantanea!

Ecco che inizia un po' a chiarirsi l'importanza, anche pratica, della derivazione e del CI in generale.

Ma c'è dell'altro. Ripetiamo l'operazione di derivazione sulle coordinate di s'(t), che come appena visto ci dà la velocità del punto istante per istante, questa volta avremo:

x''(t)=d2x(t)/dt2
y''(t)=d2y(t)/dt2

Quella che ho appena usato è la notazione standard che indica la derivata seconda rispetto a "t", cioè la derivata della derivata. Chiediamoci allora: qual è il significato fisico di s''(t)=(x''(t),y''(t))?

Quella che abbiamo appena trovato signori è l'accelerazione istantanea.

Siccome tutta la fisica classica discende dalle tre leggi di Newton, la seconda delle quali vi ricordo è F=ma, la forza è il prodotto di massa e accelerazione, ora abbiamo gli strumenti per capire che questa equazione in realtà va considerata "ribaltata", ossia:

a=F/m ---> (3) d2s(t)/dt2=F(t)/m

Quello che sta scritto sopra è che se conosco la forza F(t) agente, istante per istante, su un punto materiale di massa m, per calcolare la traiettoria del moto del punto devo risolvere l'equazione (3), che coinvolge una doppia derivazione. Le equazioni di questo tipo sono le famose equazioni differenziali e saltano fuori praticamente dappertutto nelle applicazioni scientifico-tecniche. Ogni grandezza fisica è legata da integrazione o derivazione a qualche altra grandezza, e qui sta l'importanza della funzione esponenziale, che compare in molte soluzioni esplicite di equazioni differenziali, a motivo della sua proprietà di invarianza.

L'interpretazione fisica del CI è alla base dell'approccio di Newton al problema, tanto che in effetti quelle che noi definiamo funzioni erano per lui "flussioni", cioè delle quantità che variano nel tempo. Anche la sua notazione era diversa da quella scelta da Leibniz, mentre la seconda è stata in seguito adottata dall'Analisi e dalle applicazioni matematiche in generale, la prima è sopravvissuta come conveniente notazione per problemi di Fisica.

Veniamo ora ai problemi legati ai fondamenti del CI, così giustifico anche il sottotitolo del post. Come già segnalato di sfuggita, il procedimento legato all'equazione (1), anche se nella pratica funziona, nella teoria lascia parecchi dubbi. Qui salta fuori il vescovo George Berkeley e la sua critica al CI. Riportiamo il primo esempio di derivazione fatto sopra:

((x+dx)2-x2)/dx = (x2+2xdx+dx2-x2)/dx = 2x+dx

Il risultato, dice Berkeley, non è 2x, ma 2x+dx. Ora Leibniz ci dice di far finta che il dx non ci sia, dato che è un infinitesimo. C'è però un problemuccio: già dai tempi di Eudosso di Cnido si sa che non esiste nessun numero r tale che 0 < r < 1/n per ogni numero naturale n. Detto altrimenti, l'unico numero (non negativo) che sia minore di 1/n per ogni n è proprio -e solo- lo zero. Quindi il procedimento di derivazione consiste nel prendere una quantità dx, considerarla prima diversa da zero (le prime due uguaglianze), e poi porla uguale a zero (il dx che scompare dal risultato). Insomma, dx=0 sì o no? In entrambi i casi il risultato "2x" della derivazione è logicamente inconsistente.

Leibniz sapeva bene che tecnicamente Berkeley aveva ragione, ma il suo intuito gli suggeriva che il metodo era corretto, era se mai la nostra concezione dei numeri ad essere incerta. In effetti non aveva tutti i torti, dato che la teoria dei numeri reali arriverà solo un paio di secoli dopo, però per l'appunto c'era già la teoria dei rapporti di Eudosso, insomma, non è che nel primo '700 il concetto di numero fosse sconosciuto. Comunque in definitiva Leibniz suggeriva che questi infinitesimi -dx,dy eccetera- fossero delle entità a metà fra numero e non-numero, nel senso che non aveva idea di come si potesse definirle in un modo logicamente consistente, e però credeva nella loro esistenza come enti matematici. Nel frattempo Berkeley lo spernacchiava, con la logica (momentaneamente) dalla sua parte.

Nonostante l’inconsistenza logica, il CI si dimostrò da subito così straordinariamente potente da lasciarsi subito alle spalle ogni obiezione formale à la Berkeley, tanto che nell’arco di un secolo si era così sviluppato da raggiungere ogni campo delle scienze esatte. Solo nel corso dell’800 iniziò a sentirsi sempre più pressante un bisogno di sistemazione dei fondamenti, per la verità non solo del CI ma piuttosto dell’intera matematica, per quanto riguarda però il nostro ambito si trovò una soluzione grazie alla formalizzazione del concetto di limite. Sorvolerei sull’argomento, dato che pure questo fa parte del bagaglio comune ad ogni testo di Analisi, dirò solo che questa sistemazione tradisce lo spirito dello sviluppo impetuoso dell’Analisi, che è poi quello delle origini di Leibniz.

In particolare il rapporto dy/dx espresso dalla (1), in questo approccio, non è da considerarsi come un rapporto, ma una comoda scrittura che va presa come un tutt’uno, cioè un “d/dx” da applicare a una funzione “y”. Questo è un punto su cui si usa insistere molto, e chi ha studiato analisi dovrebbe averne parecchi ricordi, perché il fatto è che quasi sempre questo caveat sembra senza altro scopo che confondere le idee allo studente, dato che le cose funzionano benissimo considerando dy/dx come un vero e proprio rapporto. E’ anche opinione comune di molti storici della matematica che se questa sistemazione logica del CI fosse stata raggiunta prima, probabilmente lo sviluppo del calcolo stesso ne sarebbe stato fortemente influenzato in negativo.

Ecco però che verso la fine della nostra storia avviene un colpo di scena. Tutto nasce da arcani risultati della logica formale degli anni ’30, quando l’Analisi matematica aveva già definitivamente l’impostazione che si studia anche oggi nei corsi universitari. Ci si accorse infatti che, a partire dagli assiomi che definivano i numeri reali, era possibile costruire un altro insieme numerico ben più vasto ed enigmatico. Questo insieme, che oggi chiamiamo insieme dei numeri iperreali (indicato con *R), oltre ad avere le stesse proprietà dei numeri reali, e a contenere tutti i numeri reali, conteneva anche altri numeri che si comportavano in modo piuttosto strano. Alcuni di questi nuovi numeri risultavano essere maggiori di ogni numero reale, cioè erano da considerarsi numeri infiniti (sesto infinito!), ma dato che per ogni numero reale r esiste un inverso 1/r, e dato che i numeri iperreali hanno le stesse proprietà dei reali, per ogni numero iperreale infinito ω dovrà esistere un inverso 1/ω.

In realtà ci volle ancora qualche decennio, e almeno un altro matematico di genio, Abraham Robinson, ma alla fine diventò chiaro che questi numeri del tipo 1/ω erano proprio gli infinitesimi che aveva cercato invano di definire Leibniz. Hanno infatti la proprietà cruciale 0 < 1/ω < 1/n per ogni numero naturale n, oltre a ciò vale anche un’altra bellissima proprietà, cioè che ogni numero iperreale finito si può scomporre in modo univoco come somma di un numero reale r e di un infinitesimo 1/ω. Detto altrimenti ogni numero iperreale finito è infinitamente vicino (settimo infinito!) ad un solo numero reale.

Queste due proprietà danno immediatamente un fondamento logico inattaccabile al procedimento di Leibniz, basta usare un semplice accorgimento, ovverosia modificare la (1) come segue:

(*1) df(x)/dx=std( (f(x+dx)-f(x))/dx)

dove std(…) sta a indicare la funzione parte standard, cioè quella funzione che ad ogni numero iperreale finito associa la sua parte reale. Questa funzione è del tutto analoga alla funzione parte intera di un numero reale x (si indica [x]), che è quella funzione che per esempio a π associa il numero intero 3. Tornando al nostro famoso esempio le cose adesso vanno così:

d(x2)/dx=std(2x+dx)=2x

e non c’è più critica di Berkeley che tenga, poiché ora dx è un infinitesimo definito rigorosamente in termini di assiomi della logica formale, e anche la sua “scomparsa” dal risultato finale è perfettamente giustificata dall’utilizzo della funzione “parte standard”. Questo approccio al CI prende il nome di Analisi non Standard e a differenza dell'approccio classico, non lo troverete in nessun testo di Analisi matematica, nè in nessun corso universitario. Gli analisti (matematici s'intende) nutrono infatti un'ostinata avversione per questo modo di fondare la loro materia, quindi sebbene siano passati una cinquantina d'anni dalla sua prima formulazione l'Analisi non standard continua ad essere relegata a curiosità matematica, quando a mio avviso è di gran lunga superiore alla formalizzazione standard dell'Analisi.

A volte il parossismo nei confronti dell'Analisi non standard raggiunge vette notevoli, date un'occhiata a questo pdf , l'esempio in fondo a pag.14 mostra la risoluzione di un'equazione differenziale col metodo ribattezzato dall'autore urang-utang (si tratta in realtà del metodo non-standard dove viene omesso il passaggio finale alla funzione parte standard), poi confrontato con la soluzione ottenuta con il metodo standard, quello rrrigoroso...Se guardate bene, più avanti, in una noticina a pag.20, l'autore pare degnarsi di constatare che esiste un approoccio che dà senso a tutto ciò che ha deriso fino a quel punto, salvo poi metterlo subito da parte, visto che:

...sono convinto che la quasi totalità di chi pensa alla derivata
come rapporto tra infinitesimi non è in grado di utilizzare l’analisi non standard! Ammesso
che sappia che esista.

Cazzo, magari se iniziate a insegnarla nelle scuole, la gente saprà che esiste e potrà apprezzare il metodo nella sua semplicità antica, con l'aggiunta del rigore moderno. Ma finchè i soloni della materia continueranno a considerare l'Analisi non standard come una sofisticata giustificazione del perchè i metodi che ci dicono essere sbagliati funzionano, i poveri studenti dovranno continuare a mandare giù tonnellate di definizioni epsilon-delta e robe simili.

Per concludere, chi volesse approfondire può consultare un qualunque testo di Analisi matematica, seguono tutti lo stesso percorso di introduzione al CI. Oppure, se non dovete sostenere un esame universitario ma solo la vostra curiosità, potreste pensare di consultare questo splendido testo che è per giunta disponibile aggratis, anche se non esiste traduzione italiana, per quanto ne sappia. Direi che come prima (e forse unica) parte può bastare così.

FranZη

Di più
30/04/2018 00:29 - 04/05/2018 19:14 #17330 da milvalos
FranZeta,

grazie dello spazio concesso
e buon proseguimento !

milvalos

[mlv lu30ap18 00e29]
Ultima Modifica 04/05/2018 19:14 da milvalos. Motivo: Errata 00229 corrige 00e29
Ringraziano per il messaggio: FranZeta

Di più
09/06/2018 04:02 #17958 da FranZeta
Tre teoremi che più generali non si può

'e='e◦e'=e' !!!

Quello qui sopra non è un emoticon surrealista, bensì un teorema dell'algebra astratta, probabilmente fra i più generali che si possano enunciare. Volendo essere precisi sarebbe proprio la dimostrazione del teorema, ma una volta chiarito il significato dei simboli l'enunciato vi è contenuto. Purtroppo per chi legge questi chiarimenti non potranno essere concisi quanto la scrittura qui sopra, quindi chi vuole seguire il ragionamento deve avere un pochino di pazienza, ma farò del mio meglio per andare al sodo in fretta.

Come ogni edificio necessita un terreno preesistente su cui poggiare le proprie fondamenta, l'edificio matematico non fa eccezione. Già Euclide nei suoi Elementi segue questa strada, premettendo all'inizio dell'opera una lista di nozioni comuni e postulati, che sono un po' terreno e un po' fondamenta del suo edificio. Oggi le cose sono più complicate, ma schematizzando possiamo dire che le fondamenta della matematica moderna sono costituite dalla logica matematica, mentre le fondamenta di quest'ultima sono l'equivalente del terreno preesistente alla costruzione. Cosa sono dunque queste fondamenta ultime? Innanzitutto il linguaggio naturale, cioè l'italiano corrente nel nostro caso, o qualunque altra lingua che ci permetta di descrivere dall'esterno (dell'edificio) ciò che stiamo facendo, e che ci consenta di definire le nostre nozioni comuni, che non sono quelle di Euclide, ma sono ad esempio il concetto di insieme, di elemento, e la relazione di appartenenza.

L'algebra moderna, che nell'edificio matematico è solo un gradino sopra la logica nella scala della priorità epistemologica, si accontenta di partire da oggetti così generali e non definibili formalmente (in quanto enti primitivi) quali gli insiemi. Si parla di struttura algebrica quando abbiamo un insieme dotato di una legge di composizione interna, vale a dire un'operazione che presi due qualsiasi elementi dell'insieme ne associa loro un terzo. Le classiche operazioni di addizione e moltiplicazione su un insieme numerico sono l'archetipo di legge di composizione interna, ma le strutture algebriche possono essere di tipo infinitamente vario. Un esempio più esotico è dato dall'insieme delle stringhe di testo che si ottengono con i caratteri dell'alfabeto latino (chiamate "parole" anche in ambito matematico, con la differenza che qui anche "XHBUJHGD" va considerata una legittima parola), dove l'operazione consiste nella semplice giustapposizione, così che CASA+CHIESA=CASACHIESA.

Siccome a questo livello di generalità si preferisce non usare simboli che abbiano uno specifico significato, ecco che adotteremo un simbolo neutro per indicare l'operazione di una struttura algebrica, per esempio "◦" (e con ciò un primo simbolo nel teorema d'apertura assume significato...). Può accadere che una struttura algebrica possieda elementi con la particolare proprietà di non incidere sull'operazione, cioè elementi "e" tali che:

e◦a=a

per ogni altro elemento "a" della struttura. Questi elementi sono detti elementi neutri per ovvie ragioni. Nel caso delle operazioni + e x dell'aritmetica gli elementi neutri sono rispettivamente 0 e 1, mentre nella struttura data dalle stringhe di caratteri alfabetici l'elemento neutro è rappresentato dalla stringa vuota. Attenzione: non è la barra spaziatrice, la stringa vuota è proprio un carattere nullo, sarebbe un tasto che non ha effetto sullo schermo, o se preferiamo il cursore che lampeggia in attesa di un nuovo carattere.

Adesso serve una precisazione. La proprietà commutativa, ossia quella che ci garantisce che a◦b=b◦a per ogni coppia di elementi (a,b), è una proprietà molto specifica che al nostro livello di generalità non possiamo assumere, quindi occorrerà fare distinzione fra elementi neutri a sinistra ('e) ed elementi neutri a destra (e'), definiti dalle seguenti identità:

'e◦a=a
a◦e'=a

Questa distinzione è doverosa dato che, non valendo la proprietà commutativa, in generale 'e◦a non sarà uguale ad a◦'e, e lo stesso dicasi per e'. Un elemento che sia neutro sia a destra che a sinistra viene detto elemento neutro tout court. Ora abbiamo gli strumenti per enunciare il nostro teorema iniziale:

TEOREMA 1. Se in una struttura algebrica (A,◦) esiste sia un elemento neutro a sinistra 'e che un elemento neutro a destra e', allora questi coincidono.

La coppia (A,◦) identifica la struttura algebrica: A è l'insieme su cui è definita e ◦ l'operazione della struttura. La dimostrazione del teorema è quella data nell'incipit del post: consideriamo infatti la composizione dei due elementi neutri 'e◦e', questa è evidentemente uguale a 'e perchè e' è neutro a destra, ma anche ad e' dato che 'e è neutro a sinistra. Sembra una banalità, ma vi invito a riflettere sull'estrema generalità delle ipotesi e sull'affermazione molto circostanziata del teorema: è quasi un miracolo che in tale situazione si possa già dimostrare qualcosa! Dal Teorema 1 discende immediatamente un corollario, anch'esso piuttosto profondo:

COROLLARIO (TEOREMA 1). Una struttura algebrica ammette al più un elemento neutro.

La dimostrazione del corollario è immediata dato che un elemento neutro "e" è per definizione neutro sia a sinistra che a destra, quindi due elementi neutri e1, e2 devono per forza coincidere (basta anche qui considerarne la composizione e1◦e2). Bene, teorema e corollario appena dimostrati sono fra i più generali dell'algebra e dell'intera matematica. Ce ne sono altri simili, che richiedono solo qualche semplice ipotesi aggiuntiva. Consideriamo ad esempio la proprietà associativa, che finora non abbiamo incluso nelle ipotesi. Un'operazione si dice associativa se vale:

a◦(b◦c)=(a◦b)◦c

cioè se vale la semplificazione della parentesi, in tal caso è lecita la scrittura a◦b◦c in luogo delle due qui sopra con le parentesi. Può ora accadere che in una struttura algebrica associativa (esisterebbe tutta una terminologia tecnica per distinguere le strutture algebriche sulla base delle proprietà verificate, non mi sembra il caso di parlarne qui), dotata di elemento neutro "e", presi due elementi a,b risulti a◦b=e. In tal caso si dice che "a" è l'inverso sinistro di "b", e simmetricamente "b" l'inverso destro di "a". Preso un qualsiasi elemento "a" della struttura, usiamo le notazioni *a e a* per indicarne rispettivamente l'inverso sinistro e destro. Ecco allora il nostro secondo teorema-che-più-generale-non-si-può:

TEOREMA 2. Sia (A,◦) una struttura algebrica associativa dotata di elemento neutro e, se l'elemento a ammette sia un inverso sinistro *a che un inverso destro a*, allora questi coincidono.

dimostrazione:
*a  = *a◦e          1
    = *a◦(a◦a*)     2
    = (*a◦a)◦a*     3
    = e◦a* =   a*   4

Come noterete in questo caso la dimostrazione è un po' meno immediata, così ho numerato le righe per spiegare i passaggi. Innanzitutto abbiamo una catena di uguaglianze che ci porta dall'inverso sinistro *a a quello destro a*, stabilendone così l'identità, vediamo ora come. La riga 1 è semplicemente un'applicazione della definizione di elemento neutro, la riga 2 un'analoga applicazione della definizione di inverso destro, il passaggio 2--->3 è invece cruciale, ed è qui che abbiamo bisogno dell'ipotesi della proprietà associativa, senza quella non c'è la riga 3 e nemmeno il teorema. La riga 4 infine è perfettamente simmetrica alla 1, una banale applicazione di definizioni.

Consideriamo ora una struttura ancora un po' più complessa, o meglio uniamo due strutture algebriche costruite sullo stesso insieme A: abbiamo allora una cosa del tipo (A,♂,♀), dove ♂ e ♀ sono due distinte operazioni sullo stesso insieme. Strutture di questo tipo possono godere della fondamentale proprietà distributiva che lega le due leggi di composizione:

a ♀ (b ♂ c)=(a ♀ b) ♂ (a ♀ c)

Scritta così sembra incomprensibile, ma se usiamo le solite operazioni aritmetiche + e x è semplicemente:

a x (b+c)=(a x b)+(a x c)

Possiamo allora enunciare un ulteriore teorema generalissimo:

TEOREMA 3. Sia (A,♂,♀) una struttura algebrica con due operazioni associative legate dalla proprietà distributiva. Supponiamo che l'operazionesia dotata di elemento neutro e, e supponiamo inoltre che ogni elemento a dell'insieme A abbia un inverso rispetto all'operazione ♂. Allora per ogni a in A si ha:

a ♀ e = e.

Anche qui, se al posto di ♂ e ♀ dicessimo + e x, il Teorema 3 afferma che a x 0 = 0 per ogni a. Cioè un numero moltiplicato per zero fa sempre zero. Beh, come vedete, e come dimostreremo subito, la cosa è assai più generale dell'ambito aritmetico.

dimostrazione:

(Siccome in fondo non vi voglio proprio male, uso i simboli + e x che tanto ci sono cari, a questo punto credo sia ormai chiaro che usando ♂ e ♀ funzionerebbe allo stesso modo, salvo il fatto che non si capirebbe un accidenti. Attenzione: l'inverso di "a" rispetto a "+" in quanto segue diventerà "-a", cioè quello che è comunemente l'inverso di "a" rispetto all'addizione. Analogamente userò "0" in luogo di e per indicare l'elemento neutro della prima operazione.)

a x 0 = a x (a - a) = a x a - a x a = b - b = 0

Breve spiegazione. Anche in questo caso c'è una catena di uguaglianze che stabilisce l'identità del primo e dell'ultimo membro, che è l'enunciato del teorema. Il secondo e il terzo membro sono uguali per via della proprietà distributiva, mentre l'ultima uguaglianza b - b = 0 (che in realtà è a scopo chiarificatore, ma sarebbe facoltativa) si giustifica come segue. Non sappiamo quanto faccia a x a, dato che non abbiamo fatto nessuna ipotesi su cosa possa essere l'elemento "a" nè l'operazione "x" (che poi sarebbe ♀ se avessi voluto infierire), però sappiamo per ipotesi che deve per forza essere un elemento dell'insieme A, e noi allora lo chiamiamo "b". Quindi a x a - a x a = b - b. Ma b - b è la composizione di un elemento e del suo inverso (rispetto all'operazione +), quindi, sebbene non abbiamo idea di quale elemento sia e nemmeno di quale operazione stiamo facendo, sappiamo comunque che deve fare 0, per definizione di elemento inverso.

FranZη

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19/06/2018 00:20 #18065 da FranZeta
Relativamente alla relatività galileiana

(Qualche precisazione al topic "Terra Piatta: dibattito")

Dato che il thread Terra Piatta: dibattito è stato impostato come discussione a due, uso questo spazio per ripristinare un certo grado di verità fisica in alcune affermazioni del suddetto forum. Mi pare anche il caso di premettere che, così come in quella sede il dibattito è impostato in modo da escludere tutti gli altri utenti, in questa sede prego di non intervenire se non per chiarimenti o perchè si è veramente informati sul tema. Senza nessun intento polemico, gradirei solo che non ci fossero interventi ad mentula canis.

Veniamo ora al problema. La situazione è quella di un aereo che vola a una certa quota, in modo che la portanza generata dalle ali sia esattamente uguale e opposta alla forza di gravità, cito da un commento:

1- Una volta che l'aereo è in volo ovvero ha sviluppato abbastanza portanza da annullare la forza di gravità, quest'ultima non ha possibilità di interferire in nessun altra maniera con il “sistema aereo” perciò l'aereo sarà in grado di viaggiare perfettamente in linea retta.


Concentriamoci sulla figurina centrale, quella relativa alla posizione iniziale, poichè le altre due sono inferenze scorrette. In quest'altro commento si legge poi la seguente precisazione:

La forza risultante mentre un aereo vola è esclusivamente quella motrice che spinge l'aereo in avanti. La FdG è completamente azzerata/bilanciata dalla portanza, quindi secondo la relatività galileiana non è possibile avere una variazione della traiettoria.
Secondo Galileo, infatti, l'aereo semplicemente deve procedere in linea retta. Seguire la circonferenza della terra significherebbe seguire una linea curva.

Se vuoi che la gravità generi una accelerazione verso il basso, allora la portanza creata dall'aereo deve essere inferiore di quel tanto che basta, ovvero dovrebbe essere una scelta volontaria del pilota o del sistema di navigazione. Non mi risulta che si voli in questo modo anche perché la variazione di altitudine dovuta alla caduta dell'aereo, non incide sul beccheggio.


La seconda parte della citazione potrebbe generare confusione, perchè quello che conta nel discorso non è che a bilanciare la gravità sia la portanza, ma che ci sia una forza che istante per istante è uguale e contraria, qualunque sia la sua natura. Il discorso che andiamo a fare in effetti vale anche per i satelliti, che come è noto non stanno in quota grazie alla portanza. Allora, partiamo da Galileo e dal suo principio di inerzia: un corpo non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme. Bene, dato che nel post Calcolo Infinitesimale qui sopra ho introdotto il rapporto esistente fra Analisi e Fisica, possiamo usare i concetti già esposti e quindi partiamo dal fatto che l'accelerazione è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo.

In assenza di forze siamo nella situazione F=ma=0, quindi l'accelerazione a è zero (altrimenti dovrebbe essere zero la massa m, cioè non ci sarebbe alcun corpo di cui discutere). Ricordo che la posizione di un corpo istante per istante è data dalla sua legge oraria , se per semplicità ipotizziamo che il moto si svolga in un piano questa avrà la forma:

s(t)=( x(t),y(t))

dove la variabile t indica il tempo e x(t), y(t) sono due funzioni che forniscono le due coordinate cartesiane che il corpo occupa all'istante t. Con ciò ovviamente il corpo si suppone puntiforme, altra semplificazione molto vantaggiosa nel nostro caso. Dunque dicevamo che l'accelerazione è nulla, questo si traduce nelle due equazioni (differenziali, ma non spaventatevi...):

d2x/dt2=0
d2y/dt2=0

...cioè le derivate seconde rispetto al tempo sono identicamente nulle. La soluzione generale del sistema di equazioni è:

x(t)=v0xt+s0x
y(t)=v0yt+s0y

dove v0x, v0y sono due costanti che hanno il significato fisico di velocità iniziale lungo l'asse x e y rispettivamente, mentre s0x e s0y rappresentano la posizione iniziale del punto, in coordinate cartesiane ovviamente. Quella descritta dalle equazioni qui sopra è una retta che il punto percorre con velocità costante v=sqrt(v0x2+v0y2) al variare del tempo t, e nell'istante iniziale t=0 il punto si trova in (s0x,s0y). Ecco allora che abbiamo dedotto il principio d'inerzia, già enunciato sopra, via passaggi puramente matematici direttamente dall'ipotesi che non ci siano forze agenti sul corpo .

Questa però non è la situazione dell'aereo descritta all'inizio. Per rendersene conto è conveniente passare alle coordinate polari r(t),φ(t) legate alle x(t),y(t) dalle relazioni riportate in figura:


A questo punto il fatto che la forza di gravità sia esattamente compensata dalla portanza si traduce nella seguente equazione differenziale:

d2r/dt2=0

che ci dice che l'accelerazione lungo la componente radiale r(t) è sempre nulla. La soluzione generale in questo caso è:

r(t)=v0rt+r0

con v0r e r0 rispettivamente velocità e posizione radiale iniziale, soluzione che non corrisponde a una linea retta, bensì a una spirale:



Per tracciare il grafico sopra ho posto v0r e r0 uguali a 1. Questa come dicevo è la soluzione generale, ma nel nostro caso sappiamo che v0r=0, perchè all'istante iniziale l'aereo vola perfettamente livellato, ecco allora che la nostra spirale diventa una circonferenza di raggio r0, che sarebbe poi la somma della quota dell'aereo e del raggio terrestre. Non solo: il fatto che la forza di gravità sia costante in modulo (a una data quota di altezza) ci porta a concludere che anche il moto angolare deve essere costante:

φ(t)=ω0t+φ0

dove ω0 è la velocità angolare e φ0 la posizione (angolare), entrambe all'istante iniziale t=0. Il nostro aereo si muove dunque di moto circolare uniforme, in accordo con la relatività galileiana. Va precisato che in effetti se l'accelerazione radiale è uguale a zero significa che la forza di gravità è uguagliata dalla somma della portanza e della forza centrifuga dovuta al moto circolare. In quanto precede ho tralasciato quest'ultima forza poichè:
- nel caso dell'aereo è del tutto trascurabile;
- avrei rovinato la "sorpresona" finale nello scoprire un moto circolare;
- sarebbe stata una complicazione inessenziale.
Tuttavia nel caso del moto di un satellite, essendo pari a zero la portanza, sarebbe solo la forza centrifuga a intervenire per controbilanciare la gravità.

***********************

Chiarito come si imposta il problema fisico dell'aereo, mi sembra il caso di fare una precisazione anche sul discorso del pendolo di Foucault, che è stato liquidato in modo sbrigativo. Il pendolo di Foucault infatti non si limita a ruotare, ma ruota con una velocità angolare proporzionale alla latitudine. Per la precisione la rotazione oraria del pendolo è data da:

α=360°/24*sin(λ)

dove λ è la latitudine alla quale il pendolo è posizionato. Alle nostre latitudini (45°) la rotazione α è di 10.6° ogni ora. Si noti che nell'emisfero australe la formula comporta una rotazione invertita, cosa che si verifica sperimentalmente. Quindi la sfericità della terra è una conseguenza indiretta dell'esperimento di Foucault: deriva dal fatto che sperimentalmente si ottengono velocità di rotazione proporzionali a sin(λ), se gli esperimenti avessero evidenziato che la rotazione è indipendente dalla latitudine, beh, quella sarebbe stata una prova che la terra gira, ma è piatta.

FranZη

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24/06/2018 22:50 #18157 da Michele Pirola

Brignano interrogato

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25/06/2018 03:11 #18161 da FranZeta

Michele Pirola ha scritto:

Cos'è il Genio?
È fantasia, intuizione, colpo d'occhio e velocità d'esecuzione.

FranZη

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25/06/2018 10:00 #18163 da Michele Pirola

FranZeta ha scritto:

Michele Pirola ha scritto:

Cos'è il Genio?
È fantasia, intuizione, colpo d'occhio e velocità d'esecuzione.

:laugh: . Ce ne ho un'altra di vignetta che però è in inglese. Penso si capisca (se qualcuno non la capisse poi gliela traduco):

Brignano interrogato

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17/07/2018 16:07 - 17/07/2018 16:44 #18613 da FranZeta
Piano cartesiano ummita

Riprendiamo dalle origini, con un argomento tratto dal libro Contattismi di massa di Stefano Breccia, già citato nel primo post di questo forum. Questa volta si va direttamente a prendere in considerazione materiale alieno, anche se la matematica sottostante è tutta terrestre. O meglio: è anche terrestre, d'altronde non è certo un'idea mia che se mai può esistere un linguaggio universale questo avrà a che fare con la matematica.

Gli ummiti sono questo simpatico gruppo di extraterrestri provenienti, per l'appunto, dal pianeta Ummo, distante una decina di anni luce dalla Terra. A partire dagli anni sessanta hanno intrattenuto un lungo rapporto epistolare con un gruppo di terrestri, per lo più spagnoli, nel quale parlano un po' di tutto comprese alcune informazioni relative alla loro matematica. Qui trovate la raccolta della corrispondenza, in spagnolo e francese più alcune traduzioni in italiano. In tempi recenti hanno iniziato pure a twittare!

Non mi pare il caso di intavolare qui una discussione sull'attendibilità o meno del contattismo ummita (o del contattismo in generale), si tratta comunque di un fenomeno interessante e per quanto riguarda i contenuti matematici, ma anche fisici, degno di considerazione. Come già avevo accennato nel thread Amicizia , in una di queste lettere anticipano l'esistenza di una dimostrazione dell'Ultimo teorema di Fermat, cosa di per sè non sconvolgente, va però sottolineato che all'epoca nella comunità matematica non erano pochi quelli che dubitavano dell'esistenza di tale dimostrazione, non fosse altro per il fatto che dopo tre secoli e mezzo di ricerca da parte delle migliori menti matematiche non se ne era ancora venuti a capo. E infatti quando un paio di anni più tardi Andrew Wiles annunciò al mondo di aver risolto il problema lo stupore fu grande.

Per quanto riguarda la fisica, oltre a una panoramica generale sugli enti fondamentali che regolano il nostro universo, e a questo proposito vi rimando al mio post successivo sempre nel thread Amicizia, fanno una previsione a mio avviso tanto avventata quanto poi rivelatasi azzeccata. Scusate ma al momento non ho tempo di cercare la lettera in cui affermano quanto segue, per cui fidatevi della mia memoria. Siamo alla fine degli anni '60, da poco nella fisica delle particelle è stata teorizzata la particella nota come quark, e i nostri ummiti in una delle loro missive spiegano che questi quark non esistono affatto e se dovessimo proseguire su tale linea di pensiero la nostra fisica resterebbe al palo per un lungo periodo. Beh, potete vederla come volete ma è un fatto che la fisica degli ultimi cinquant'anni ha prodotto ben poco di utile a livello di teorie fondamentali. E stiamo ancora a giocare coi quark...

Detto ciò veniamo al nostro argomento. Gli ummiti spiegano che anche loro utilizzano l'equivalente del nostro piano cartesiano (R2 - si legge erre-due e non erre-quadro! - come lo chiamano i matematici) solo che hanno un diverso sistema di coordinate, che ora andiamo ad illustrare. Anzi, prima di tutto ricordiamo qual è il nostro sistema di coordinate: è quello in cui ogni punto è identificato dalla coppia di coordinate x e y, anche dette rispettivamente ascissa e ordinata, ossia i punti sono individuati così:

P=(xP,yP)

Il sistema di riferimento è individuato da due rette perpendicolari, gli assi x e y, e la loro intersezione è l'origine del piano, vale a dire il punto di coordinate (0,0). In questo sistema di coordinate un'equazione che coinvolga le incognite x e y corrisponde a un certo insieme di punti del piano, in particolare le equazioni polinomiali, cioè quelle del tipo f(x,y)=0 dove f è un polinomio che contiene (solo) le incognite x,y, definiscono delle curve algebriche nel piano. Queste curve si classificano in base al grado del polinomio f: quelle di grado 1 sono le rette, di grado 2 le coniche, di grado 3 le cubiche e via così.

Il nostro piano cartesiano col suo sistema di coordinate ortogonali è in definitiva una sorta di scacchiera ampliabile a piacere e con caselle piccole a piacere. Il piano con coordinate ummite invece assomiglia di più a una rappresentazione 3D - con visione binoculare dunque - di questa scacchiera. Innanzitutto per stabilire il riferimento ummita si scelgono due punti distinti del piano, A e B. Come facciamo a sapere quali sono, se non abbiamo ancora un sistema di coordinate, direte voi. Esattamente come facciamo col nostro piano cartesiano: non lo sappiamo! Cerco di spiegarmi meglio: il piano R2 va considerato come preesistente e indipendente dal nostro sistema di coordinate. E' un ente matematico con le sue proprietà che non dipendono da come decidiamo di individuare i suoi punti, così come le proprietà (e LA proprietà...) della vostra casa non dipendono dal numero civico o dal nome della via: se domani cambiano nome alla via cambia il vostro indirizzo, non il vostro salotto! Allo stesso modo quando noi diciamo "questo punto è l'origne del piano" ne stiamo prendendo uno a caso, anche perchè il piano cartesiano non ha punti privilegiati rispetto ad altri.

Dunque anche gli ummiti scelgono due punti arbitrari A e B e poi, per individuare un generico punto P, usano semplicemente i due angoli α=BAP e β=ABP:



Nell'immagine ho mantenuto i nostri cari assi cartesiani per comodità e confronto, ma usando il sistema di coordinate ummita sono del tutto inutili. Sempre per comodità ho posizionato A e B rispettivamente in (-1,0) e (1,0), questo ci permetterà di trovare una particolare conversione fra i due sistemi di coordinate, ma ancora ripeto: A e B possono essere in qualunque posizione, così come il nostro O con i suoi assi x e y d'altronde. Si noti che α si misura in senso antiorario e β in senso orario. Queste sono le espressioni delle coordinate ummite rispetto alle nostre:



dove con "l" ho indicato la distanza dall'origine dei due punti A e B (ho quindi generalizzato un pochino lo schema sopra: i due punti hanno cioè coordinate (-l,0) e (l,0), nel caso particolare di prima era l=1). Queste invece sono le espressioni inverse, quelle delle coordinate cartesiane in funzione delle ummite:



Immaginate che i punti A e B corrispondano al centro dei vostri occhi, immaginate anche un qualsiasi piano passante per detti centri oculari, le coordinate ummite vi consentirebbero di individuare un punto qualsiasi di questo piano semplicemente misurando l'angolo individuato dalle vostre pupille rispetto all'asse passante per i centri oculari. Ipotizzando di non muovere il collo, ovviamente. Dunque in tale riferimento un punto generico è individuato da:

P=(α,β)

Non tutti i punti del piano cartesiano possono però essere individuati con queste coordinate: restano esclusi i punti della retta passante per A e B. Ciò non deve sorprendere dato che anche nella visione umana c'è un limite naturale invalicabile prima dei 180° di ampiezza. Lo stesso vale per gli obiettivi fotografici. Quindi in quanto angoli e per le limitazioni appena esposte le due coordinate α e β sono definite nell'intervallo aperto (-π,π) escluso il valore 0. A differenza delle coordinate cartesiane, dove ogni coppia di valori (x,y) è ammissibile e definisce un unico punto, le coordinate ummite devono sottostare all'ulteriore condizione che la loro somma sia, in modulo, minore di π, altrimenti le due semirette non si incontrerebbero ma sarebbero parallele o divergenti. Si deve avere cioè

|α+β| < π

dove il modulo è necessario perchè ad angoli negativi corrispondono punti al di sotto dell'asse x. Infine α e β devono avere lo stesso segno. Tutto ciò le rende piuttosto scomode da usare nei corsi di geometria, però questo non toglie la naturalezza del sistema di coordinate in riferimento alla fisiologia della visione binoculare.

Stefano Breccia nel suo libro fa notare che all'equazione α+β=c, con c costante arbitraria, corrisponde una circonferenza del piano. Questa affermazione però è piuttosto imprecisa, infatti, anche sorvolando sul fatto che la costante c deve essere minore di π, in realtà l'equazione sopra definisce solo un arco di circonferenza compreso fra A e B. Vediamo la cosa più in dettaglio:



Consideriamo dunque la circonferenza passante per A,B e P. Come ricorderemo dalla geometria elementare un angolo alla circonferenza è esattamente la metà dell'angolo al centro che insiste sulla stessa corda, corollario del teorema è che tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda sono uguali. Nel nostro caso il segmento AB è una corda e l'angolo APB è un angolo alla circonferenza che insiste sulla corda. Inoltre, sempre dalla geometria elementare, sappiamo che la somma degli angoli di un triangolo è π (cioè 180°, esprimo sempre gli angoli in radianti come d'altronde dichiarano di fare gli stessi ummiti), da ciò segue che:

APB=π-α-β=π-(α+β)

Ecco allora che se l'angolo APB è costante, e dunque P sta su un arco di circonferenza compreso tra A e B, anche α+β risulta essere costante, ossia vale l'equazione α+β=c. Questa c si ricava facilmente considerando il caso limite in cui P coincide con B, in tal caso α=0, β=c e l'angolo cercato è quello formato dalla retta AB e dalla tangente alla circonferenza in B (retta azzurra). Questo ci fornisce una procedura pratica per trovare l'arco di circonferenza corrispondente all'equazione α+β=c: si traccia in B la retta azzurra con inclinazione c rispetto alla retta AB (l'angolo si misura in senso orario, come per β) e poi si traccia la circonferenza tangente a questa retta e passante per A e B.

A questo punto è chiaro che non tutta la circonferenza è definita da questa equazione, la parte della curva tratteggiata non può soddisfare l'equazione per la stessa costante c, infatti dalla figura si vede facilmente, ragionando sempre sulla tangente in B, che l'arco tratteggiato della circonferenza soddisfa l'analoga equazione α+β=c-π. Non essersi accorto di questo semplice fatto porta poi Breccia a scrivere altre cose sbagliate. Infatti prosegue così:

Non è difficile dimostrare che le equazioni del tipo:

α-β=c

con c costante, rappresentano delle iperboli, con asintoti variamente orientati.

Ecco, siamo ancora in un caso analogo alle circonferenze, infatti l'equazione sopra rappresenta solo degli archi di iperbole, come ad esempio questa:



...e la cosa non dovrebbe stupire chi fosse incorso in questo precedente post dove si spiegava che un'iperbole altro non è che una circonferenza che interseca la retta all'infinito...Ma vediamo cos'altro dice Breccia:

Divertente il caso particolare allorchè α=0 [qui c'è un refuso, da quanto segue è evidente che intendeva α=β]. Il luogo risultante è costituito dalla coppia dei convenzionali assi cartesiani ortogonali! Difatti, per α ǂ 0, la funzione risultante è l'asse delle ordinate, in quanto i punti P si trovano ad essere il vertice superiore di triangoli isosceli, quindi descrivono la retta x=0.

Fin qui tutto bene, salvo ricordare che il punto (0,0) è escluso da questa rappresentazione. Ma poi:

Per α=0, si ha di conseguenza β=0 [No!!!] ed il triangolo ABP degenera nella retta y=0. Realmente divertente, anche se facilmente immaginabile: difatti anche in metrica cartesiano gli assi di riferimento sono il caso limite di una famiglia di iperboli.

L'ultima affermazione è corretta, senonchè non avendo ancora realizzato che i luoghi geometrici di cui parla non sono circonferenze o iperboli ma solo archi di questi, Breccia non realizza nemmeno che sarebbe difficile trovare rette come caso limite di archi, ma sarebbe più logico trovare segmenti. E infatti, se poniamo α=β=0, dalla prima figura del post è facile vedere che a queste equazioni corrispondono tutti i punti del segmento AB, senza che se ne possa scegliere uno in particolare. Quindi volendo dare un senso anche ai casi degeneri, l'equazione α=β corrisponde all'asse y più il segmento AB. Possiamo discutere se gli estremi del segmento siano inclusi o meno, in effetti il punto B potrebbe essere identificato da (α=0,β qualsiasi) e analogamente A da (α qualsiasi,β=0), quindi potremmo includere gli estremi. In ogni caso le due semirette (-∞,A) e (B,+∞) non possono essere descritte dall'equazione proposta da Breccia. Anche qui, se vogliamo proprio proseguire in questa piuttosto inutile analisi dei casi degeneri (inutile perchè il sistema di coordinate in questi casi non è valido, caratteristica fondamentale di un sistema di coordinate è che identifichi univocamente i punti!), la prima semiretta corrisponderebbe alle equazioni (α=π,β=0) e la seconda a (α=0,β=π). Insomma, proprio i valori che noi all'inizio avevamo escluso esplicitamente, onde non incorrere in degenerazioni e denominatori che si annullano...

A costo di infierire sul povero Breccia (che però, in quanto ingegnere, certe cose sarebbe anche stato tenuto a saperle...) faccio notare un'ulteriore confusione in quanto afferma nel paragrafo seguente:

Non parrebbe agevole l'estensione alle tre dimensioni, se non fosse per un concetto apparentemente strampalato citato dagli Ummiti nella loro descrizione dello spazio. Secondo loro, lo spazio è, sì, composto da una triplice infinità di punti (pensando a tre dimensioni), ma ad ogni punto è associata una triplice infinità di angoli fra direzioni...
...
...imporre una funzione di variazione di tali angoli (da loro chiamati
IBOZOO UU) genera qualunque struttura.

Stop. Estendere il loro sistema di coordinate a tre dimensioni è estremamente semplice e naturale: ricordate il parallelo fatto all'inizio con la visione binoculare? Ho dovuto premettere che bisognava prima scegliere un particolare piano passante per i centri degli occhi, perchè ovviamente la visione è relativa al mondo 3D. Quindi per estendere il sistema allo spazio tridimensionale basta prendere un piano di riferimento fra gli infiniti che passano per i due punti A e B, per farlo basta scegliere un ulteriore punto C (per tre punti passa un unico piano). Adesso per individuare un generico punto punto P nello spazio tridimensionale R3 (si legge erre-tre e non erre-cubo!) basta procedere come segue: innanzitutto si ruota il piano di riferimento passante per ABC lungo l'asse AB fino a farlo coincidere con il piano ABP, l'angolo corrispondente a questa rotazione, chiamiamolo γ, è la terza coordinata che ci serve per determinare P, infatti una volta che siamo nel piano ABP possiamo usare le coordinate ummite bidimensionali. In definitiva il punto risulta determinato dalla terna:

P=(α,β,γ)



Anche nel caso tridimensionale resta esclusa dal sistema di coordinate la retta passante per AB. Per quanto riguarda gli IBOZOO UU rimando di nuovo ai post del thread Amicizia, sottolineando che gli Ummiti avvertono esplicitamente e reiteratamente che queste entità fondamentali, pur avendo una natura angolare (e dimensione dieci, per la cronaca), non vanno confuse con gli angoli della nostra geometria, pena il non capirne il significato. Non scomodiamo quindi i "bosi", come li chiamo io, i cari vecchi angoli di greca eredità sono più che sufficienti qui.

FranZη
Ultima Modifica 17/07/2018 16:44 da FranZeta.

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19/07/2018 17:41 - 19/07/2018 18:29 #18740 da FranZeta
Breve addendum al precedente post. Come detto il sistema di coordinate ummita si generalizza al caso tridimensionale molto facilmente, ma mi sono scordato di sottolineare che si può altrettanto facilmente estendere a qualunque dimensione dello spazio euclideo. Per quanto sia difficoltoso immaginare uno spazio di dimensione 4, o di dimensione n grande a piacere, col nostro sistema di coordinate basta aggiungerne una, infatti:

P=(x,y,z,w)

è un generico punto dello spazio quadridimensionale indicato col sistema di coordinate cartesiane. La nuova coordinata w ha lo stesso significato delle altre: è un qualsiasi numero reale. L'origine di tale sistema di coordinate è semplicemente il punto O=(0,0,0,0). Con la stessa naturalezza possiamo estendere il sistema di coordinate ummite a qualsiasi dimensione, ragionando per induzione. Nel caso bidimensionale il generico punto P è individuato come vertice di un triangolo di base AB mediante i due angoli α,β. Passando in dimensione 3 il punto P è il vertice di un tetraedro di base ABC individuato dai tre angoli α,β,γ. Diventa allora chiaro come generalizzare il tutto: in dimensione 4, P diventa il vertice di un ipertetraedro* di base ABCD, dove D è un nuovo punto di riferimento aggiunto al sistema ummita (allo stesso modo per cui l'asse w è un nuovo asse di riferimento aggiunto al sistema cartesiano). P risulta allora individuato dai quattro angoli α,β,γ,δ, dove δ è l'angolo che misura l'inclinazione del tetraedro ABCP rispetto a ABCD.

*Un ipertetraedro è un tetraedro di dimensione maggiore di 3. In dimensione 4 si può visualizzare così:



Si tratta della proiezione nello spazio tridimensionale del tetraedro quadridimensionale (in realtà è un'ulteriore proiezione 2D di questa, dato che sta nello schermo del computer, immaginatevelo in 3D...), è composto da cinque facce ognuna delle quali è un tetraedro tridimensionale, i tetraedri in questione sono ABCP, ABDP, ACDP, BCDP e...ABCD! Si noti che l'ultima faccia "contiene" le altre, ma questo è un effetto della proiezione, in realtà ogni faccia ha lo stesso ruolo delle altre, così come nella proiezione del cubo in basso a destra:



...una faccia sembra contenere le altre. Per la cronaca la stessa proiezione di un ipercubo è questa:



Si noti come si segua questa progressione: un triangolo (dimensione 2) ha 3 facce costituite da segmenti (= "triangoli" di dimensione 1), un tetraedro 4 facce costituite da triangoli, un ipertetraedro di dimensione 4 ha 5 facce costituite da tetraedri ("triangoli" di dimensione 3), e così via... quindi un tetraedro di dimensione n avrà n+1 facce costituite da "triangoli" di dimensione n-1!

FranZη
Ultima Modifica 19/07/2018 18:29 da FranZeta.

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10/08/2018 17:29 - 11/08/2018 14:13 #20071 da FranZeta
Pi greco, sezione aurea e Khufu

Ufficialmente pi greco e sezione aurea (3.141592... e 1.618033... rispettivamente) sono numeri ignoti agli egizi del 2500 a.C.: solo a partire da circa 2000 anni più tardi si affacciano nel mondo greco, e in forma assai diversa da quella che conosciamo noi, ad esempio il simbolo π è stato usato per primo da Eulero per indicare il rapporto fra circonferenza e diametro del cerchio, e solo un secolo più tardi sarà riconosciuto come numero trascendente. Per qualche dettaglio in più sulla sezione aurea Φ rimando al primo post di questo thread. Insomma, accostare gli egizi della IV Dinastia a questi due numeri è considerata un eresia. Cito da Storia della matematica di Carl B. Boyer:

L'ipotesi che il rapporto tra il perimetro della base e l'altezza della Grande Piramide fosse stato consapevolmente stabilito in 2π è chiaramente in contraddizione con le nostre conoscenze sulla geometria degli egiziani.

Ora, a parte il fatto che in generale Boyer è un eccellente storico della matematica e il suo libro è vivamente consigliato a prescindere dalla citazione qui sopra, che tra l'altro Boyer riprende da un certo N.F.Wheeler e dal suo Pyramids and Their Purpose (suppongo che ci sarebbe parecchio da ridere a leggere quel testo...), a parte questo dicevo, il rapporto in questione è 6.2908, con uno scarto dal valore di 2π dello 0.12%...ma come cazzo si fa a sostenere che è casuale?

Ma c'è di più. Anni fa, dopo aver sentito Angela padre o figlio ripetere questa manfrina del rapporto casuale, ho dedicato un piccolo studio alla questione, ed è saltato fuori che la cosa è ancora più strabiliante...altro che π approssimato allo 0.12%! L'angolo alla base della Grande Piramide misura 51°49′13′′, quest'angolo differisce di soli 25 secondi d'arco (ossia meno di 0.007°, un margine d'errore non solo trascurabile ma anche attribuibile alle misurazioni moderne) da quest'altro angolo: α=51°49'38''. Cos'ha di speciale α? Ecco:



Quella del disegno è la sezione centrale di una piramide con angolo alla base α, in tale piramide è codificata la sezione aurea Φ, come rapporto fra ipotenusa e cateto minore dei due triangoli rettangoli che compongono la sezione. Sezione aurea che ricordo era ufficialmente sconosciuta agli egizi del 2500 a.C. e ad ogni altro popolo dei 2000 anni successivi. Non solo. L'altezza h risulta essere uguale alla radice quadrata di Φ, ecco allora che il rapporto fra altezza e perimetro della piramide è 8/Φ1/2=6.2892, che oltre ad essere un'ottima approssimazione di 2π, è praticamente il rapporto effettivo della Grande Piramide (errore 0.025%) già riportato sopra. Ricapitolando: le dimensioni relative della Grande Piramide, che come per ogni piramide sono fissate dall'angolo di inclinazione delle facce, conducono senza ambiguità alla seguente "quasi" identità matematica:

4/Φ1/2 ≈ π

dove il simbolo "≈" sta per "circa uguale" e il margine di errore del "circa" è quantificabile nello 0,025%. Per dire, avete presente le ruote della vostra auto? Ecco, l'eccentricità dello pneumatico può essere anche 10 volte maggiore rispetto a questo margine d'errore, senza che ciò comprometta le funzionalità della ruota o generi vibrazioni avvertibili. Se egittologi/archeologi vari facessero i gommisti, dovrebbero inevitabilmente concludere che gli pneumatici sono di forma circolare per pura coincidenza! Beh, almeno questo è il loro atteggiamento verso le misure delle piramidi.

Ci sarebbe ancora qualcosa da dire su queste misure. Abbiamo visto che il triangolo rettangolo sezione della piramide ha le seguenti proporzioni dei lati: 1, Φ1/2, Φ. Questo suggerisce una progressione geometrica di ragione Φ1/2, ossia la successione:

n/2)N = 1, Φ1/2, Φ, Φ3/2, Φ2,...

...successione che ha una singolare proprietà: sebbene la base della successione sia un numero irrazionale, Φ1/2, da un certo punto in poi iniziano a comparire numeri quasi interi. Ecco i primi 100 termini della successione, troncati al quarto decimale:
1 1.272 1.618 2.0582 2.618 3.3302 4.2361
5.3884 6.8541 8.7186 11.0902 14.1069 17.9443
22.8255 29.0344 36.9324 46.9787 59.7578
76.0132 96.6902 122.9919 156.4481 199.005
253.1383 321.9969 409.5864 521.0019 662.7247
842.9988 1072.3111 1364.0007 1735.0357
2206.9995 2807.3468 3571.0003 4542.3825
5777.9998 7349.7293 9349.0001 11892.1118
15126.9999 19241.8412 24476 31133.953
39603 50375.7941 64079 81509.7471 103682
131885.5413 167761 213395.2884 271443
345280.8297 439204 558676.1181 710647
903956.9479 1149851 1462633.066 1860498
2366590.0139 3010349 3829223.0799 4870847
6195813.0938 7881196 10025036.1737 12752043
16220849.2674 20633239 26245885.4411
33385282 42466734.7086 54018521
68712620.1497 87403803 111179354.858
141422324 179891975.008 228826127
291071329.866 370248451 470963304.874
599074578 762034634.74 969323029
1232997939.61 1568397607 1995032574.35
2537720636 3228030513.97 4106118243
5223063088.32 6643838879 8451093602.29
10749957122 13674156690.6 17393796001
22125250292.9

Come potete verificare, alla nona riga compare il primo numero "intero", 24476. Si tratta in realtà di un numero irrazionale le cui prime quattro cifre decimali sono zero. Da lì in poi questi numeri quasi interi compaiono in sequenza alternata, i numeri che li inframezzano sono corrispondenti agli esponenti semi-interi, dunque la successione (Φn)N costituita dai soli esponenti interi da un certo punto in avanti contiene solo numeri quasi interi. Coincidenze.

FranZη
Ultima Modifica 11/08/2018 14:13 da FranZeta.

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05/09/2018 17:58 #20598 da FranZeta
Utilizzo questo spazio per replicare all'utente Bandini in merito alla discussione che inizia con questo commento , argomento la struttura del ponte Morandi. Aggiungo il link al documento pdf di riferimento e la seguente immagine, tratta sempre dal pdf:



Ora, siccome l'utente Bandini si è convinto per autosuggestione che esistano dei tiranti permanenti all'interno dell'impalcato fra i punti C e F, cioè dei cavi tesi passanti per C-D-E-F, ha voluto apostrofare il mio intervento sopra linkato con frasi del tipo:

Confondi stralli con cavi provvisionali, non capendo la funzione che hanno.

Il vero problema è che inquini la discussione argomenti tecnici che evidentemente non padroneggi e così facendo induci altri a fare valutazioni errate.


Al che ho replicato con il seguente:

Allora siccome mi hai dato due volte di quello che non capisce niente e adesso dici pure che inquino la discussione, ora o mi dici esattamente dove si parla di tiranti diversi dagli stralli, oppure quello che non ha capito un cazzo sei tu e dovresti ritirarti un buon ordine.

La risposta di Bandini è quella che vado ora a discutere in dettaglio.

Non è mia intenzione offendere, visto che lo chiedi lo rispiego.

No caro Bandini, non ho chiesto nessuna spiegazione, ho chiesto un riferimento bibliografico alla parte del documento in cui si parla di tiranti definitivi diversi dagli stralli. Era peraltro una domanda retorica, dato che questi tiranti te li sei inventati tu. Proseguiamo:

Il paragrafo che segue è riferito alla travata in cemento armato precompresso. E' stata prima gettata e poi precompressa (la travata) con i tiranti definitivi. Ma fino al momento della precompressione finale il getto non poteva reggersi con tutto quello sbalzo senza la posa dei tiranti provvisionali. Qui non si parla dei tiranti all'interno degli stralli ma dei tiranti all'interno della travata.


Ecco, appunto: invenzione di Bandini, dato che la successiva citazione dal pdf spiega tutt'altro:

"il getto dei tratti C-D ed E-F della travata è avvenuto utilizzando il noto metodo "peu a peu". Si è trattato cioè di eseguire ogni tratto in 13 conci successivi della lunghezza di 5,13 m, ciascuno affidato al resto della struttura a mezzo di un sistema di cavi pretesi superiori, esterni e provvisionali, che si sono tolti dopo aver ultimato la loro funzione, sostituita, come è noto, da un certo momento in poi, dall'azione longitudinale orizzontale dei tiranti definitivi. Questi cavi, di andamento sub-orizzontale, hanno assunto la loro configurazione prestabilita a mezzo di due piccoli cavalletti provvisori costruiti in corrispondenza dei punti D ed E".

Ora, è evidente che questi tiranti definitivi di cui si parla qui non sono meglio specificati, ma per un buon motivo: erano gli stralli, cioè l'elemento più evidente dell'intera costruzione. Tanto è vero che si premurano di specificare che l'azione è longitudinale orizzontale, cosa del tutto superflua se si trattasse di tiranti interni all'impalcato, dato che la loro azione sarebbe per forza di cose parallela alla travata. Questi tiranti definitivi invece avevano una componente longitudinale orizzontale, e un'altra perpendicolare verticale, trattasi infatti degli stralli C-O-F.

Andiamo avanti. Segue una spiegazione fra l'ovvio e l'inutile sulla funzione dei piccoli cavalletti, che come avevo già segnalato a Bandini ero stato il primo a notare, prima ancora di leggere il pdf, per la precisione in questo commento . Per poi sfociare nella banalità più assoluta:

La funzione dei cavi pretesi provvisionali è di evitare il crollo della struttura in costruzione sulla ferrovia sottostante, visto che la travata è stata costruita senza puntellature e impalcature.

Dunque i progettisti si erano premurati di installare quei cavi per evitare che tutta l'opera in costruzione franasse sulla sottostante ferrovia. Non l'averi mai immaginato. Proseguiamo:

Poi hai saltato il paragrafo successivo, questo:
"Un ulteriore sistema di tiranti provvisionali, questi passanti dalla sommità dell'antenna, ha sorretto il notevole peso rappresentato dai trasversi in C ed in F, la cui funzione è quella di determinare legame statico tra l'impalcato ed i terminali dei tiranti C-O-F." (nota mia: i tiranti C-O-F sono quelli che noi stiamo chiamando stralli). Quindi qui parla di ulteriori cavi provvisionali (cioè diversi e con altra funzione rispetto a quelli citati sopra), questi vanno a costituire la futura configurazione strallata ancorandosi nei punti C ed F della travata dal punto O che è la sommità dell'antenna.


C'è un motivo se ho saltato quella parte: non era di nessuna utilità alla nostra discussione. Infatti mi riferivo a questo screenshot:



Come è evidenziato dalla didascalia, nè gli stralli definitivi nè i tiranti provvisori dalla cima dell'antenna sono ancora stati messi in opera. Come del resto i traversi in C e F, quelli dove andranno ad ancorarsi gli stralli. Qui c'è un altro momento di autosuggestione, infatti ti inventi il fatto che questi cavi provvisionali costituiscano i sostituti provvisori agli stralli definitivi, mentre il pdf dice chiaramente che la loro funzione è quella di sorreggere il notevole peso dei traversi, mentre la funzione degli stralli è affidata a tutti i tiranti provvisori, che d'altronde risultano ancora tutti tensionati al loro posto. E infatti la prova definitiva, che già ti avevo linkato ma che non hai tuttora compreso, è il seguente passo del pdf:

"Ovviamente l'operazione di trasformazione del campo tensionale interno della travata, tra il com­portamento a doppio cantilever e quello a trave continua a tre luci, consistente nel montaggio e gra­duale messa in tensione dei tiranti C-O-F e contemporaneamente nell'altrettanto graduale asportazione di tutti i tiranti provvisori...ecc."

Abbiamo un comportamento "a doppio cantilever", quello generato da tutti i tiranti provvisori, che viene trasformato in trave continua dalla graduale messa in tensione dei soli tiranti C-O-F (gli stralli) e contestuale rilascio graduale di tutti i tiranti provvisori. Ora, quand'è che avrebbero messo in tensione gli immaginari tiranti interni all'impalcato? Non certo prima di questa fase, dato che i tiranti provvisori erano ancora tutti al loro posto. E non certo dopo, dato che la compressione alla travata C-D-E-F era già fornita dagli stralli tensionati, i quali, avendo un angolo con l'impalcato minore di 45% lavoravano prevalentemente nel ruolo di tensionatori del suddetto impalcato. Tanto più che poi il pdf ci tiene ad informarci pure di questo aspetto:

Tale operazione (la tensionatura degli stralli definitivi), controllata come già detto con opportuni sistemi geometrici e tensiometrici, è stata ogni volta eseguita senza alcun inconveniente e, al termine di essa, la travata B-G ha denunciato il comportamento di una struttura continua in cui i punti C-F erano ubicati più in alto della loro posi­zione definitiva (con conseguente distorsione ela­stica della travata) di un valore tale per cui, quando in B ed in G sono state poggiate le travate di ser­raglia tra due sistemi contigui, i detti punti C-F hanno occupato la posizione definitiva (con conse­guente scomparsa di ogni distorsione elastica e quin­di, sensibilmente, di ogni sopratensione).

Quindi, una volta tesi gli stralli definitivi, i punti terminali della travata erano un po' più in alto della loro posizione definitiva, raggiunta in seguito all'inserimento delle cerniere che completavano la campata. Anche qui nessun accenno a ulteriori tiranti definitivi diversi dagli stralli, anzi, appare evidente che tutte le operazioni di tensionatura e rilascio di tiranti dipendevano unicamente dai soli ed unici tiranti definitivi: gli stralli.

Per concludere, mi rivolgo direttamente a Bandini, o salta fuori un riferimento bibliografico che parla esplicitamente di tiranti definitivi diversi dagli stralli, oppure ti sei inventato tutto e faresti bene a chiedere scusa per avere inquinato la discussione con un mare di cazzate.

FranZη

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06/09/2018 13:42 #20630 da Bandini
Ciao
A pagina 2 di questo pdf:

"4) Una travata continua, in calcestruzzo precompresso, del tipo cellulare, con una soletta estradossale, una intradossale e 6 nervature, poggiante sul cavalletto di cui al punto 2)." www.ingenio-web.it/20925-il-viadotto-sul...dettagli-progettuali

La travata è quindi in c.a.p. e aggiungo io, del tipo post-teso, cioè la tesate sono state fatte alla fine per mezzo di martinetti idralici, un sistema illustrato nelle foto che allego
File allegato:

File allegato:

File allegato:

riferimenti bibliografici:
www.federica.unina.it/ingegneria/tecnica...armato-precompresso/
www.ablaweb.net/fabriziopaolacci/documenti/c.a.p1.pdf

Alcune delle posizioni degli ancoraggi dei cavi sul ponte crollato le vedi in questa foto, altre ne troverai se le cerchi su google map.
File allegato:
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Da ultimo, la figura 37 del pdf citato in alto, la relativa nota recita: "Armatura ordinaria e di precompressione della nervatura di una delle travi longitudinali di impalcato."
File allegato:
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ciao

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