Analisi anomalie foto Apollo con strumenti matematici

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12/12/2016 11:59 #8082 da doktorenko
La prima anomalia che vado ad analizzare e` la differenza della lunghezza focale dichiarata dalla Nasa/Zeiss e quella calcolata in base immagine della Terra impressa sulle foto Apollo-11. Questa presunta anomalia (che credo di aver segnalato io per primo) puo` avere diverse cause: posso aver sbagliato i calcoli, puo` dipendere dalla messa a fuoco, da distorsioni ottiche o di stampa, oppure potrebbe essere una prova contro l`autenticita` delle foto.

Qua potete vedere la differenza tra la Terra nella foto A11-5924 e la sagoma calcolata:



Dopo cerchero` di riportare tutti i passaggi che hanno portato questo risultato.

Per seguire al meglio la discussione, riporto alcuni collegamenti:

www.hq.nasa.gov/alsj/Biogon5.6_60mm_ZEISS.pdf (Specifiche tecniche dell`obiettivo)
www.geogebra.org/ (programma per l`analisi matematica e geometrica)
www.flickr.com/photos/projectapolloarchi...ms/72157658601662068 (Archivio immagini alta risoluzione)

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12/12/2016 16:33 #8084 da FranZeta
In attesa della spiegazione dei passaggi, sei sicuro che la tua curva "a" sia una circonferenza?



La curva rossa che ho tracciato è la circonferenza per i tre punti D-E-H e la curva blu l'ellisse per i 5 punti C-D-E-F-G. Nella foto originale la terra è molto piccola al centro dell'immagine, non vedo perchè l'obiettivo dovrebbe schiacciarne la sagoma...

FranZη

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12/12/2016 17:15 - 14/12/2016 07:42 #8085 da doktorenko
Non e` una circonferenza: in effetti, secondo i mie conti, dovrebbe essere schiacciata a causa della proiezione.
Adesso di mostro tutti i passaggi, usando l`applicazione geogebra:

a) creare 3 scorrevoli tipo "Angolo":
delta (distanza angolare dal centro, da 0 a 45 gradi, incremento 0.01),
rho (semidiametro angolare della Terra, da 0 a 2 gradi, incr. 0.005),
alpha (angolo posizione, da 0 a 360, incr. 0.1)

b) creare scorrevole numerico
lf (lunghezza focale, da 60 a 65, incr. 0.05)

[...]

Ricapitolando:
con lo scorrevole delta si sposta la circonferenza di semidiametro rho lungo un raggio individuato dall`altro scorrevole alpha; e piu` ci si allontana dal centro, piu` la circonferenza si dovrebbe schiacciare: ovvero il diametro parallelo ad alpha dovrebbe allungarsi a causa della proiezione.
Ultima Modifica 14/12/2016 07:42 da doktorenko. Motivo: Errore nella formula

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12/12/2016 21:39 - 12/12/2016 21:40 #8087 da kamiokande
Grazie per aver aperto il topic, appena ho due neuroni funzionanti all'unisono vedo se posso dare una mano in qualche modo, nel frattempo hai anche un riferimento alla teoria geometrica che lega lo "schiacciamento" alla lunghezza focale ( in particolare la formula ds(x)=tan(sqrt(f_x(x)² + f_y(x)²))*lf )? Ho capito cosa cerchi di dimostrare ma mi manca la matematica di base che c'è dietro per capire i passaggi. Nel caso non l'avessi già fatto, potresti verificare la procedura usando foto della Luna fatte con diverse focali, esiste per esempio il sito clarkvision che ha una sezione dedicata a foto (digitali) della Luna con diverse lunghezze focali.

"La stampa è morta" (Egon Spengler - Ghostbuster)
Ultima Modifica 12/12/2016 21:40 da kamiokande.

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12/12/2016 23:08 #8088 da FranZeta

doktorenko ha scritto: Non e` una circonferenza: in effetti, secondo i mie conti, dovrebbe essere schiacciata a causa della proiezione.
Adesso di mostro tutti i passaggi, usando l`applicazione geogebra:

a) creare 3 scorrevoli tipo "Angolo":
delta (distanza angolare dal centro, da 0 a 45 gradi, incremento 0.01),
rho (semidiametro angolare della Terra, da 0 a 2 gradi, incr. 0.005),
alpha (angolo posizione, da 0 a 360, incr. 0.1)


Allora, devo dire che ho fatto un po' fatica a seguire il tuo ragionamento. Innanzitutto vuoi calcolare la distorsione prospettica, non quella dovuta alla lente, e fin qui ci siamo. Direi che basterebbe calcolare lo scostamento del centro della terra nell'immagine rispetto al centro dell'immagine stessa, una volta noto l'angolo questo sarebbe esattamente l'angolo che forma il piano della pellicola rispetto al piano di proiezione "ideale" (quello in cui la circonferenza terrestre resta una circonferenza). Iniziamo a chiarire se l'immagine da cui parti è questa :



Come vedi ho evidenziato il centro dell'immagine, la terra non è esattamente al centro ma ci manca pochissimo, ecco perchè devo riproporre il mio dubbio iniziale: la distorsione prospettica è trascurabile. Soprattutto non capisco da dove saltino fuori i tuoi valori delta e alfa, una volta capito che sono le coordinate polari del centro della terra rispetto al centro dell'immagine, come fa ad essere delta=14.7° quando è chiaramente minore del diametro terrestre, cioè minore di 2°? Anche l'angolo alfa direi che a occhio è molto vicino a zero. Quindi seguendo i conti risulterebbe an(x) ̴ =x. Devo anche aggiungere che fossi in te io trasformerei subito le ampiezze angolari in distanze, usando la focale, per evitare confusioni, non mi torna molto l'ultima parte del tuo ragionamento, anche ammettendo corretti i valori di input.

Altra cosa che mi sfugge è lo scopo di questi calcoli, nell'immagine specifica la terra è praticamente al centro del mirino, non possiamo che aspettarci che sull'immagine risulti una circonferenza quasi perfetta. Inoltre se anche quello della foto fosse un modellino in scala, la distorsione prospettica sarebbe sempre la stessa, dato che dipende solo dalla "centratura" dell'immagine.

FranZη

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13/12/2016 06:49 - 13/12/2016 07:17 #8089 da doktorenko

FranZeta ha scritto: Iniziamo a chiarire se l'immagine da cui parti è questa: AS11-40-5845


L`immagine e` la 5924:

AS11-40-5924

Scusami se non l`avevo specificato chiaramente, ma intanto volevo capire se il mio metodo per calcolare la distorsione prospettica era corretto.

Come vedi ho evidenziato il centro dell'immagine, la terra non è esattamente al centro ma ci manca pochissimo, ecco perchè devo riproporre il mio dubbio iniziale: la distorsione prospettica è trascurabile.


Nella foto 5924 la Terra e` scostata di circa 15 gradi dal centro.

Inoltre se anche quello della foto fosse un modellino in scala, la distorsione prospettica sarebbe sempre la stessa, dato che dipende solo dalla "centratura" dell'immagine.


Il calcolo della distorsione era per escludere l`ipotesi di un fotomontaggio che non avesse tenuto conto di questo aspetto, ma il punto principale rimane quello di controllare se le dimensioni della Terra nell`immagine corrispondono a quelle della situazione reale. Io direi che piu` o meno sono quelle: non c`e` nessuna anomalia macroscopica, come spesso ho sentito affermare con un giudizio a sensazione. Tuttavia, con i dati che ho raccolto, non corrispondono perfettamente: mi piacerebbe capire il perche`.


P.S.

Credo di aver trovato un errore nel sistema del calcolo della deformazione, adesso riporto quello usato nella vecchia discussione, che avevo verificato esatto con delle simulazioni grafiche e che dovrebbe essere piu` facile da spiegare.
Ultima Modifica 13/12/2016 07:17 da doktorenko.

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13/12/2016 11:13 - 13/12/2016 12:40 #8091 da doktorenko

kamiokande ha scritto: Grazie per aver aperto il topic, appena ho due neuroni funzionanti all'unisono vedo se posso dare una mano in qualche modo, nel frattempo hai anche un riferimento alla teoria geometrica che lega lo "schiacciamento" alla lunghezza focale ( in particolare la formula ds(x)=tan(sqrt(f_x(x)² + f_y(x)²))*lf )? Ho capito cosa cerchi di dimostrare ma mi manca la matematica di base che c'è dietro per capire i passaggi. Nel caso non l'avessi già fatto, potresti verificare la procedura usando foto della Luna fatte con diverse focali, esiste per esempio il sito clarkvision che ha una sezione dedicata a foto (digitali) della Luna con diverse lunghezze focali.


Il problema e` appunto che non esistono molti riferimenti sulla fotogrammetria, o almeno io ne ho trovati pochi. Se non capisci la mia procedura non preoccuparti perche` credo sia sbagliata; adesso ne riporto un`altra, spero sia piu` corretta:



I punti A1 e B1 sono le proiezioni dei punti A e B appartenenti alla sfera c di centro C (dobbiamo immaginare la figura come una ripresa in 2d dall`alto, con tutti i punti appartenenti allo stesso piano).

La distanza dal punto O1[centro della fotografia] dei punti A1 e B1 e` uguale a tan(distanza angolare punto)*lunghezza focale; il diametro della sfera proiettato sara` quindi:
tan(dist_ang B1)*O_O1 - tan(dist_ang A1)*O_O1.

Questo diametro e` quello di maggiori dimensioni; come fare a calcolare quello minore, perpendicolare ad esso?

Indicando con rho il semidiametro angolare della sfera (che possiamo calcolare conoscendo la distanza e le dimensioni), io direi, ma accetto suggerimenti, che corrisponde alla distanza O_C1 moltiplicata per tan(rho) moltiplicato per 2, con O_C1=lf/cos(beta).
diametro minore=2 * lf/cos(beta)*tan(rho)

Ovvero: noi dobbiamo risolvere il triangolo O_C1_C2, rettangolo in C1 e con angolo in O uguale a rho, conoscendo la distanza O_C1 e l`angolo rho. C1_C2 corrisponde quindi al semidiametro minore. (il punto C2 bisogna immaginarlo sopra al punto C1)
Ultima Modifica 13/12/2016 12:40 da doktorenko.

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14/12/2016 07:41 - 14/12/2016 12:05 #8096 da doktorenko
La curva parametrica che descrive lo schiacciamento (dovuto alla sola prospettiva) di una sfera di diametro 2 rho, proiettata a distanza angolare delta, ripresa da un obiettivo con lunghezza focale f, dovrebbe essere: (quella precedente era sbagliata, questa credo sia corretta perche` l`ho verificata con delle simulazioni 3d)

(1)
x=tan(delta+cos(t)*rho)*f
y=tan(sin(t)*rho)*f/cos(delta+cos(t)*rho)



Sempre riferendomi alla figura del messaggio precedentea, si puo` vedere il problema anche da questo punto di vista (spero sia piu` chiaro):

dobbiamo calcolare la lunghezza C1_B1 (raggio della nostra circonferenza schiacciata) per ogni angolo di rotazione della retta O_B1 attorno all`asse O_C1, con B1 il punto apparenente al piano di proiezione a distanza O_O1 (focale) e angolo di rotazione rho uguale al semidiametro angolare della sfera.

Dobbiamo cioe` risolvere il triangolo O_C1_B1, conosciamo:

delta=distanza angolare
angolo in O= rho = semidiametro angolare sfera
f=lunghezza focale

Dobbiamo calcolare:
angolo in C1 (chiamiamolo gamma(t) con t angolo di rotazione)
lato O_C1
lato C1_B1 (lo chiamiamo raggio(t), con t l`angolo di rotazione)

1) l`angolo in C1 in funzione della rotazione t: gamma(t) = pi-(acos(-sin(delta)*cos(t))+rho
2) lato O_C1= f/cos(delta)
3) lunghezza di C1_B1 sara` quindi raggio(t) =O_C1 * sin(rho)/sin(gamma(t)).

La curva parametrica diventera` allora:

(2)
gamma(t) = pi-(acos(-sin(delta)*cos(t))+rho
 raggio(t) =O_C1 * sin(rho)/sin(gamma(t))

x=tan(delta)*f+cos(t)*raggio(t)
y=sin(t)*raggio(t)

Che equivale a alla (1).
Ultima Modifica 14/12/2016 12:05 da doktorenko.

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14/12/2016 17:57 - 14/12/2016 18:09 #8099 da FranZeta

doktorenko ha scritto: L`immagine e` la 5924:

AS11-40-5924

.....

Nella foto 5924 la Terra e` scostata di circa 15 gradi dal centro.


Ok, adesso siamo d'accordo sull'immagine di partenza. L'altra cosa che non ho capito è come fai a misurare quei 15° di scostamento. Se li misuri sulla fotografia fai un errore, perchè le distanze sulla foto non sono angoli, sono tangenti di angoli. Ecco perchè avevo suggerito di misurare solo lunghezze in mm, rapportando queste al formato originale della pellicola e alla focale.

La curva parametrica che descrive lo schiacciamento (dovuto alla sola prospettiva) di una sfera di diametro 2 rho, proiettata a distanza angolare delta, ripresa da un obiettivo con lunghezza focale f, dovrebbe essere: (quella precedente era sbagliata, questa credo sia corretta perche` l`ho verificata con delle simulazioni 3d)

(1)

x=tan(delta+cos(t)*rho)*f
y=tan(sin(t)*rho)*f/cos(delta+cos(t)*rho)

La curva precedente era certamente sbagliata, questa non so anche perchè onestamente non ho capito come fai a derivarla. La nuova impostazione sembra corretta (l'ho letta velocemente, non ho verificato tutti i passaggi), questa però ti consente di trovare la proiezione di un segmento (il diametro), da qui alla curva parametrica della proiezione della sfera ce ne passa di strada...

Adesso spiego come avrei impostato io il problema. Innanzitutto stiamo considerando la fotocamera come una camera oscura, quindi stiamo ignorando l'eventuale ingrandimento della lente. Il mio ragionamento parte dalle misurazioni delle distanze sulla pellicola, oppure sull'immagine considerandone l'ingrandimento, tutti valori che non conosco e quindi lascerò cercare a gente più volenterosa.

Allora in quanto segue indico con F la distanza focale, con rho il raggio della sfera misurato sulla pellicola con la sfera al centro del mirino, quindi se non c'è ingrandimento -e noi lo stiamo dando per scontato- risulta rho=F*tan(ampiezza angolare della terra). Analogamente delta è la distanza misurata sulla pellicola tra il centro dell'immagine e il centro della sfera impressa nell'immagine stessa, è legata all'angolo phi che misura di quanto abbiamo ruotato l'obiettivo rispetto a una sfera perfettamente centrata nel mirino dalla relazione delta=F*tan(phi).

Ora riporto brevemente il ragionamento del mio calcolo, i passaggi non li riporto, chi non è interessato ai dettagli può saltare questo paragrafo e passare al risultato finale. Sono partito dal cono di proiezione della sfera centrata, usando la sua equazione implicita in R^3: x^2+y^2=(rho^2/F^2)*z^2, quando lo intersechiamo col piano z=F si ottiene la circonferenza x^2+y^2=rho^2 che è l'immagine sulla pellicola della sfera al centro del mirino. Poi ho ruotato il sistema di coordinate di un angolo phi attorno all'asse y, ciò equivale a ruotare verso destra (o sinistra, fate voi) la macchina fotografica di un angolo phi. Ho ricavato l'equazione del cono originale in termini delle nuove coordinate x'y'z' e l'ho intersecata col piano z'=F, per ottenere l'immagine della proiezione.

L'equazione implicita della curva di proiezione è Expr=0, dove Expr è la formula scritta nell'immagine seguente (ho eliminato gli apici alle coordinate perchè mi servivano solo per ricavare l'equazione):


Poi ho inserito i valori di delta e rho relativi ad angoli di 14.7° e 0.93° (solo per tracciare un grafico, non ho idea se siano corretti o meno nel nostro caso specifico, soprattutto il primo mi lascia qualche dubbio) e ho tracciato la curva della proiezione della sfera, in rosso, e per confronto la curva della proiezione se la sfera fosse stata al centro del mirino, in blu:



Come si può constatare la curva rossa è una circonferenza quasi perfetta, solo un poco più grande della curva originale. Dall'equazione Expr=0 scritta sopra si può vedere che il coefficiente davanti a x^2, (1-rho^2*delta^2/F^4) per valori non troppo grandi di rho e delta è molto vicino a 1, questo significa che la curva è molto vicina all'essere una circonferenza in tutti i casi pratici relativi a una fotografia. Il caso limite in cui la curva diventa una parabola si ottiene con rho*delta=F^2, quindi ad esempio con i valori rho=delta=F che corrisponderebbero a un oggetto molto vicino ripreso con un obiettivo fortemente grandangolare verso il margine dell'inquadratura, insomma valori impossibili da ottenere in una normale foto.

PS Se questa foto non è un ingrandimento di un'altra immagine, si può ricavare il valore di rho da questa, quello di delta dalla 5924 e poi inserire questi valori nell'equazione Expr=0, a questo punto non dovremmo più preoccuparci dell'eventuale ingrandimento dell'obiettivo perchè lavoriamo solo in una falda del cono di proiezione, quella dalla parte della pellicola.

EDIT: Sopra c'è un errore, è rho=F*tan(semiampiezza angolare della terra)

FranZη
Ultima Modifica 14/12/2016 18:09 da FranZeta.

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14/12/2016 23:38 - 14/12/2016 23:40 #8100 da gronda85
Ultima Modifica 14/12/2016 23:40 da gronda85.

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15/12/2016 07:32 - 15/12/2016 12:46 #8101 da doktorenko

FranZeta ha scritto:

doktorenko ha scritto: La curva parametrica che descrive lo schiacciamento (dovuto alla sola prospettiva) di una sfera di diametro 2 rho, proiettata a distanza angolare delta, ripresa da un obiettivo con lunghezza focale f, dovrebbe essere: (quella precedente era sbagliata, questa credo sia corretta perche` l`ho verificata con delle simulazioni 3d)

(1)

x=tan(delta+cos(t)*rho)*f
y=tan(sin(t)*rho)*f/cos(delta+cos(t)*rho)

La curva precedente era certamente sbagliata, questa non so anche perchè onestamente non ho capito come fai a derivarla. La nuova impostazione sembra corretta (l'ho letta velocemente, non ho verificato tutti i passaggi), questa però ti consente di trovare la proiezione di un segmento (il diametro), da qui alla curva parametrica della proiezione della sfera ce ne passa di strada...


Mi riferisco alla figura nel messaggio #8091 (immaginando che sia una vista dall`alto, con l`asse z che viene verso l`osservatore) :

la sfera c di centro C, per ogni orientamento della camera oscura con foro in O e piano di proiezione con centro in O1 e distanza F, proiettera` sul suddetto piano un cerchio dal semidiametro apparente rho=arcsin(d/2D) con d diametro reale della sfera e D distanza C_O.

Questo cerchio, centrato in C1, sara` schiacciato in funzione dell`angolo beta (orientamento camera rispetto al centro della sfera)

Il nostro compito e` calcolare la circonferenza di questo cerchio: ovvero trasformare il semidiametro rho (che ha un valore assoluto in gradi) in un raggio in mm (che varia per tutta la circonferenza).

La componente x della circonferenza schiacciata ha estensione:
O1_X=tan(delta)*F
delta=beta-rho ... beta+rho

Per calcolare la componente dell`asse z in corrispondenza di X, dobbiamo pensare ad ogni triangolo OXZ (rettangolo in X e con Z posto a perpendicolo) individuato dall`angolo delta. Il lato XZ e`la distanza che ci interessa:

delta=beta+cos(t)*rho
alpha =  rho * sin(t)

O1_X=tan(delta)*F

O_X = F / cos(delta)
angolo in O = alpha
X_Z=tan(alpha) * O_X


Ricordo che beta e` lo scostamento angolare della sfera ovvero l`orientamento della camera rispetto alla sfera perfettamente al centro dell`inquadratura.
Ultima Modifica 15/12/2016 12:46 da doktorenko. Motivo: Corretto alcuni passaggi

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15/12/2016 08:59 - 16/12/2016 08:53 #8102 da doktorenko
Verifichiamo la correttezza della curva (1) con una simulazione (io uso il programma di modellazione 3d Blender)

Aggiungiamo alla scena una sfera, posizionandola:
x=0
y=60
z=0

Dimensioni:
x=2
y=2
z=2

Posizioniamo la camera:
x=0
y=0
z=0

Orientamento:
x=90
y=0
z=15

(cioe`, dopo aver posto la sfera al centro dell`inquadratura, angoliamo la camera di 15 gradi a sx, ossia la sfera di 15 a dx)

Cambiamo queste impostazioni:
Lunghezza focale=61.10
Sensore=53.0

Alla sfera abbiniamo un materiale insensibile all`ombreggiatura e mettiamo un colore ambientale in modo che la sfera possa risaltare. Cambiamo poi la risoluzione dell`immagine finale in una di dimensione quadrata (importante): 4000x4000 al 100%; togliamo il filtro anti-scalettatura e salviamo il risultato.

Apriamo geogebra e aggiungiamo:

2 scorrevoli angolari:
delta 0-25 passo 0.01
rho 0-2 passo 0.005

2 dati tipo numeri:
focale=61.1
d=focale tan(δ)

1 curva parametrica:
Curva[tan(δ + cos(t) ρ) focale, tan(sin(t) ρ) focale / cos(δ + cos(t) ρ), t, 0, 2π]

Aggiungiamo l`immagine salvata in precedenza (spuntando l`opzione "immagine di sfondo"), e spostiamo i punti abbinati (dobbiamo cioe` centrarla e dimensionarla a 53x53):
A=-26.5,-26.5
B=26.5,-26.5

Adesso regoliamo gli angoli finche` la sagoma non coincide, oppure usando i dati a nostra disposizione:

rho=asin(1/60)=0.955 gradi
delta=15 gradi

Il risultato dovrebbe essere questo:
La coincidenza mi sembra perfetta.

Ho aggiunto anche, per far risaltare lo schiacciamento, una circonferenza di centro d e di raggio pari al semidiametro maggiore della circonferenza schiacciata, disegnandola in rosso.
Ultima Modifica 16/12/2016 08:53 da doktorenko. Motivo: Eliminato post scriptum

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16/12/2016 08:40 - 20/12/2016 12:33 #8105 da doktorenko
La figura proiettata da una sfera di diametro angolare 2rho sul piano di proiezione con centro O1 e distanza F dal foro O, inquadrata sotto un angolo delta, dovrebbe quindi essere un`ellisse con le seguenti caratteristiche:


Asse maggiore:
F * tan(delta+rho)- F * tan(delta-rho)

centro (distanza da O1):
F * tan(delta-rho) + semiasse maggiore

L`asse minore lo devo calcolare piu` precisamente, ma e` di circa:
2 * F / cos(delta) * tan(rho)

Wolframalpha mi calcola anche le seguenti forme alternative:

centro:
F * sin(2delta) / [cos(2delta) + cos(2rho)]
semiasse maggiore:
F * sin(2rho) / [cos(2delta) + cos(2rho)]
Ultima Modifica 20/12/2016 12:33 da doktorenko. Motivo: corretto refuso formula

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17/12/2016 10:37 - 17/12/2016 17:14 #8111 da doktorenko
@FranZeta
Riprendendo la tua impostazione, si potrebbe risolvere in questo modo: un cono obliquo al piano di proiezione, che ha come asse la retta congiungente il centro della sfera inquadrata e il corrispondente punto proiettato sul piano, e come apertura il diametro angolare della sfera; l`intersezione tra il cono e il piano di proiezione e` la figura che cerchiamo.

Per semplicita` pongo l`asse del cono su una retta passante per (0,0,0), dati:
delta=scostamento angolare dal centro di proiezione
rho=semidiametro angolare sfera
F=focale
b=tan(delta)*F
h=sec(delta)*F
m=tan(pi/2+delta)

Il nostro cono avra` il vertice nel punto:
X_0=-b
Y_0=F
Z_0=0

e asse:
a: Fx+by=0

Su a costruiamo una sfera s di raggio R = raggio del cono in quel punto, ponendo il centro nel punto (0,0,0):
R=h*tan(rho)
s: x**2+y**2+z**2=R**2

Aggiungiamo un piano p perpendicolare all`asse del cono, passante per il centro della sfera:
p: x+my=0

L`intersezione tra il piano p e la sfera s sara` la direttrice del cono che cerchiamo. Ottenuto il cono, possiamo calcolarne l`intersezione con il piano di proiezione (questi ultimi sono i conti piu` complessi e devo ancora verificarli).

p.s.

Ho provato a ricavare l`equazione del cono obliquo, dovrebbe essere questa:
f=focale
b=tan(delta)*f
m=tan(pi/2+delta)
h=sec(delta)*f
r=h*tan(rho)

m² (-b y - f x)² + (b y + f x)² + z² (f m - b)² - r² (b - f m + m y + x)² = 0
Ultima Modifica 17/12/2016 17:14 da doktorenko. Motivo: Aggiunta equazione cono

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17/12/2016 21:18 - 17/12/2016 22:02 #8114 da FranZeta
@doktorenko

Sto rifacendo il conto a mano nei ritagli di tempo, quando ho finito e controllato posto il tutto. L'impostazione implicita (geometria algebrica) è quella naturale per questo tipo di problema, per esempio il fatto che la proiezione sia un'ellisse è immediato da vedere senza fare nemmeno un calcolo.

EDIT Però nel frattempo potresti chiarirmi come misuri i famosi 15° di scostamento, perchè sopra ho visto un errore nell'uso dell'angolo rho. E' vero che per valori piccoli il seno e la tangente si possono approssimare all'angolo (sarebbe il caso di rho), però in ogni caso si ottiene un'equazione approssimata che non funziona per angoli più grandi. Per angoli nell'ordine di 15° invece l'errore è troppo grande per la precisione richiesta da questi calcoli, da cui la mia domanda.

FranZη
Ultima Modifica 17/12/2016 22:02 da FranZeta.

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18/12/2016 12:33 - 18/12/2016 12:46 #8116 da doktorenko
@FranZeta

Mi riferisco alla figura nel messaggio #8102, per calcolare lo scostamento procedo in questo modo:


1) calcolo il diametro angolare 2rho sapendo la distanza e la dimensione reali della sfera inquadrata: distanza D=60, diametro d=2, semidiametro angolare= asin(2D/d)=0.95 gradi
2) misuro la distanza del punto piu` lontano (dal centro immagine) del bordo della sfera proiettata: l=17.46 mm
3) da questa calcolo l`angolo: lambda=atan(l/lunghezza focale)=atan(17.46 /61.1)=15.95 gradi
4) sottraggo rho da lambda = 15.95-0.95 = 15 gradi (delta)

Il centro dell`ellisse pero` e non e` posto a tan(δ) 61.1, ma a (focale tan(δ + ρ) + focale tan(δ - ρ)) / 2.
Ultima Modifica 18/12/2016 12:46 da doktorenko.

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19/12/2016 18:13 #8123 da FranZeta
Come promesso eccomi qua con i calcoli rifatti e corretti. L'equazione che avevo postato qui non era corretta, mi ero perso per strada un coefficiente da cui la necessità di rifare il conto a mano che adesso posto paro paro da scansione. Diciamo che più che un'analisi delle foto lunari con strumenti matematici questo 3d sta diventando strumenti matematici con qualche cenno a foto lunari, mi sa che siamo rimasti solo io e doktorenko, pure kamiokande l'abbiamo perso per strada.

Allora il procedimento è lo stesso già descritto sopra, per evitare confusione ho usato due nuove lettere: r è il raggio della sfera centrata e R la distanza fra centro dell'immagine e centro della proiezione della sfera, misurati in mm sulla pellicola, F è sempre la focale. Questo è il calcolo completo di dettagli:



Quindi la 3) è l'equazione dell'ellisse che rappresenta la sfera sulla pellicola e la 4) è la coordinata x del suo centro. Rimettendo come valori quelli che stiamo usando il grafico corretto è questo:



...e in effetti si nota una certa eccentricità anche a occhio. Per ricavare l'equazione parametrica standard dell'ellisse, cioè nella forma (x=a*cos(t)+C,y=b*sin(t)), bisogna prima ricondurre la 3) all'equazione canonica (x-C)^2/a^2+y^2/b^2=1 e poi da questa si ottengono subita a e b, C lo conosciamo già. Svolgendo i conti risulta:



Come vedi (mi rivolgo a doktorenko perchè dubito che qualcun altro sia arrivato fin qui) passando all'equazione parametrica le cose si complicano parecchio, e non migliorano nemmeno se al posto di r e R usiamo i corrispondenti angoli rho e phi:



Ecco perchè avevo suggerito l'approccio algebrico al problema. Una nota importante: sotto alle equazioni delle ultime due immagini puoi notare il comando "simplify(Expr)" con associato uno 0, quello è il controllo della correttezza delle equazioni parametriche trovate: ho sostituito x(t) e y(t) nella 3), se le equazioni sono corrette bisogna trovare 0=0 indipendentemente dal parametro t, quindi le equazioni parametriche qui sopra sono già controllate. Non solo, ogni altra equazione parametrica dell'ellisse deve soddisfare a questa condizione, quindi se vuoi verificare la correttezza delle equazioni parametriche che avevi trovato in precedenza basta che ripeti questa procedura, magari facendo fare i conti al computer come ho fatto io.

Tieni però presente che siccome tu usi una coordinata x positiva, devi mettere un segno - davanti a x(t) nell'equazione parametrica, oppure equivalentemente sostituire il coefficiente 2*R...*x con -2*R...*x nell'equazione implicita 3). Sempre nella 3) devi anche sostituire a r e R le rispettive espressioni in funzione degli angoli che usi nelle equazioni parametriche. Buon divertimento!

FranZη

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19/12/2016 22:51 #8124 da kamiokande
Scusate ma tra lavoro ed altri impegni sono stato assente dal forum. Ho iniziato a guardarci ieri, ho raccolto un po' di testi di ottica geometrica giusto per capire le equazioni di base, e poi mi studio i vostri post.

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20/12/2016 07:35 - 20/12/2016 08:45 #8127 da doktorenko

kamiokande ha scritto: Scusate ma tra lavoro ed altri impegni sono stato assente dal forum. Ho iniziato a guardarci ieri, ho raccolto un po' di testi di ottica geometrica giusto per capire le equazioni di base, e poi mi studio i vostri post.


E questa e` la parte banale dei calcoli: tutta la questione sulla deformazione dovuta all`ottica o alla stampa non so se si potra` risolvere matematicamente, per mancanza dei dati necessari :question:

FranZeta ha scritto: Diciamo che più che un'analisi delle foto lunari con strumenti matematici questo 3d sta diventando strumenti matematici con qualche cenno a foto lunari, mi sa che siamo rimasti solo io e doktorenko, pure kamiokande l'abbiamo perso per strada.


E io ho pure una formazione classica, ma ho capito il tuo procedimento; con quello speculare (cubo obliquo e piano yz) l`equazione dell`ellisse mi risulta:
x^2 (cos^2(δ) - sin^2(δ) tan^2(ρ)) - 2 f x tan(δ) tan^2(ρ) + y^2=f^2 sec^2(δ) tan^2(ρ)

Pero` non sono poi riuscito a riportarla in una forma canonica. In seguito posso anche riportare tutti i passaggi, ma ora, per non appesantire troppo, voglio tornare a inserire qualche immagine lunare.
Ultima Modifica 20/12/2016 08:45 da doktorenko.

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20/12/2016 07:36 - 20/12/2016 08:55 #8128 da doktorenko
Iniziamo con il fotoritocco:

1) Scarichiamo la foto lunare da analizzare AS11-40-5924 nella migliore definizione (4048x3968)
2) cerchiamo di raddrizzarla il piu` possibile, usando la griglia di crocette come riferimento
3) tagliamo dall`immagine il quadrato individuato dalle croci esterne, cioe` un quadrato che corrisponde ad uno di 40mmx40mm sulla pellicola originale
4) se alcune croci non sono visibili, stimiamone la posizione usando quelle superstiti nella stessa colonna e riga
5) salviamo il risultato

Il quadrato individuato nel punto 3 potrebbe anche non essere tale, di queste deformazioni trattiamo in un altro messaggio: a me risulta un "quadrato" di 3005x3008.

Apriamo geogebra:

Per il momento teniamo per buona l`equazione (2): questa dovrebbe essere la curva parametrica dell`ellisse nella forma Cx+cos(t)*r Cy+sin(r)*r; con Cx,Cy il centro della sfera nell`immagine proiettata, e non il centro dell`ellisse.

Inseriamo tre scorrevoli angolo:
alpha (angolo inclinazione laterale della camera)
delta (scostamento angolare dal centro della pellicola)
rho (diametro angolare)

Tre dati numerici:
F = 61.1 (focale in mm)
d = tan(δ) F (scostamento angolare dal centro, portato in mm)
h= F sec(δ) (si puo` interpretare come "allungamento" della focale in rapporto allo scostamento angolare)


Aggiungiamo la funzione del raggio della curva parametrica (la nostra ellisse) con centro F tan(δ), in funzione dell`angolo:
r(t)= h sin(ρ) / sin(ρ - acos(sin(δ) cos(t - α)))

Curva parametrica, orientata secondo l`angolo alpha e distante dal centro F * tan(delta):
Curva[d cos(α) + cos(t) r(t), d sin(α) + sin(t) r(t), t, 0, 2π]

Inseriamo l`immagine 40mmx40mm elaborata in precedenza, posizionandola nei punti:
A(-20,20)
B(20,-20)

La croce di riferimento piu` grande si dovra` trovare esattamente nel centro (0,0).

Adesso non ci resta che cambiare gli angoli con i dati in nostro possesso: in particolare rho (semidiametro angolare) dovrebbe essere 0.938 gradi, l`avevo calcolato nella discussione precedente ma possiamo verificarlo. Gli altri angoli (orientamento della camera) li regoliamo invece a mano (forse anche questi possono essere calcolati, avendo come riferimento la posizione e l`orientamento del modulo lunare).

Il mio risultato e` questo:



Ho aggiunto una circonferenza per valutare lo schiacciamento, anche se ho sbagliato leggermente a centrarla. Del risultato discutiamo in un altro messaggio.

p.s.:
nell`immagine il semidiametro e` impostato a 0.93 gradi invece del piu` corretto 0.94, ma il risultato non e` molto differente: la dimensione della Terra nella foto e` piu` piccola di quella calcolata con i dati raccolti. Ho provato a farla combaciare cambiando la lunghezza focale, il meglio che ho ottenuto e`
delta=13.96
rho=0.94
alpha=71.445
F=62.5

Cioe` una differenza di 1.4mm nella lunghezza focale.
Ultima Modifica 20/12/2016 08:55 da doktorenko. Motivo: Aggiunto post scriptum

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20/12/2016 11:21 #8129 da kamiokande
Ho qualche dubbio sul procedimento. Da quello che ho potuto vedere da una ricerca veloce fatta su libri di ottica, ma potrei aver preso un grosso granchio visto la mia poca dimestichezza con l'argomento, teoricamente la lunghezza focale non dovrebbe avere effetto sulla distorsione prospettica ma solo sull'ingrandimento (magnification). Ho fatto un test con Blender ed in effetti cambiando solo la lunghezza focale cambia solo la dimensione dell'oggetto rappresentato, ma non la forma.

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20/12/2016 12:30 - 20/12/2016 13:00 #8130 da doktorenko

kamiokande ha scritto: Ho qualche dubbio sul procedimento. Da quello che ho potuto vedere da una ricerca veloce fatta su libri di ottica, ma potrei aver preso un grosso granchio visto la mia poca dimestichezza con l'argomento, teoricamente la lunghezza focale non dovrebbe avere effetto sulla distorsione prospettica ma solo sull'ingrandimento (magnification). Ho fatto un test con Blender ed in effetti cambiando solo la lunghezza focale cambia solo la dimensione dell'oggetto rappresentato, ma non la forma.


La distorsione infatti e` data dalla distanza dal centro (angolo delta) e dal diametro 2 rho, F agisce da moltiplicatore; ma e` cosi` anche nella mia curva parametrica:
raggio(t)= F sec(δ) sin(ρ) / sin(ρ - acos(sin(δ) cos(t - α)))

Comunque adesso ci stiamo occupando della sola dimensione dell`immagine Terra, non della sua forma, anche perche` e` difficile da stabilire con precisione, mancandone quasi meta`. La circonferenza l`avevo aggiunta per far risaltare lo schiacciamento.

I conti mi tornano invece con una focale maggiore (62.5 mm):
Ultima Modifica 20/12/2016 13:00 da doktorenko.

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21/12/2016 13:26 #8141 da kamiokande
@ doktorenko

Chiedo venia. Sto arrivando pian piano a convergenza. Ho scritto una parziale sciocchezza, è vero che variando solo la lunghezza focale varia solo la dimensione del soggetto, ma a parità di posizione sul piano di proiezione la distorsione prospettica cresce al diminuire della lunghezza focale.

Sto approcciando parallelamente il problema utilizzando l'ottica geometrica per vedere se ottengo i tuoi stessi risultati. Ho scritto un piccolo codice che proietta una sfera su un piano ad una distanza focale imposta. Partendo dalla posizione della Terra sulla foto voglio ricavarne a ritroso la posizione "reale", imponendo la distanza Terra-Luna, per riproiettarla poi sul piano; ma prima voglio verificare che il codice sia corretto. Appena ho un risultato lo posto così possiamo confrontarlo con il tuo.

Comunque, a mio parere, un errore di circa il 4% (62.5mm invece di 60mm) mi pare fisiologico (tra imprecisioni di calcolo ed imperfezioni dell'ottica) e non sufficiente ad indicare un'anomalia.

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21/12/2016 17:26 - 21/12/2016 17:44 #8145 da doktorenko

kamiokande ha scritto: @ doktorenko
Comunque, a mio parere, un errore di circa il 4% (62.5mm invece di 60mm) mi pare fisiologico (tra imprecisioni di calcolo ed imperfezioni dell'ottica) e non sufficiente ad indicare un'anomalia.


L`ottica dovrebbe essere perfetta, cioe` non dovrebbe deformare l`immagine in modo percettibile, proprio perche` e` un obiettivo per fotogrammetria. Puoi leggere le caratteristiche dell`obiettivo seguendo l`indirizzo che ho segnalato nel primo messaggio.

Propongo altre ipotesi:

1) dato sbagliato distanza Terra-Luna
2) la luminosita`/atmosfera della Terra la fa apparire leggermente piu` grande
3) variazione di lunghezza focale dovuta alla messa a fuoco

Anch`io sto scrivendo del codice per capire se e` possibile valutare la forma della Terra, cioe` se nell`immagine e` effettivamente ellittica. La variazione dovrebbe essere di circa 5 pixel tra asse maggiore e minore.

Per curiosita` ho provato anche a calcolare lo schiacciamento polare: nell`ipotesi migliore (entrambi i poli visibili dalla Luna) dovrebbe essere di 0.7 pixel circa.
Ultima Modifica 21/12/2016 17:44 da doktorenko.

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22/12/2016 14:30 - 22/12/2016 14:38 #8153 da kamiokande
@ doktorenko

Ho ottenuto praticamente i tuoi stessi risultati. La distanza Terra-Luna (386330 km) l'ho ricavata usando il software Stellarium che ho verificato essere sufficientemente preciso per questo tipo di analisi (viene usato anche dai debunker per mostrare la coerenza fisica della Terra nelle foto delle missioni Apollo), e che possiamo considerare come fissata. La foto è stata scattata alle 110:50:26 MT (Mission Time), ovvero le 4:21:53 UTC, del 21 luglio 1969.



Io ho trovato che con una lunghezza focale di 63mm (5% in più dei teorici 60mm) la dimensione della Terra corrisponde a quella ricavabile dalla foto AS11-40-5924.



La curva spezzata in azzurro è il perimetro visibile della Terra (in mm) ricavato dalla foto AS11-40-5924HR presa dal Apollo 11 Image Library . La curva è stata ottenuta digitalizzando la foto, ruotata di 90 gradi in senso orario, con la app on-line Web Plot Digitizer posizionando l'origine degli assi al centro del marker centrale del Reseau plate e sapendo che la distanza tra i marker è di 10mm. La linea continua rossa è la Terra proiettata sull'immagine con una lunghezza focale di 60mm, mentre la linea tratteggiata nera è relativa ad una lunghezza focale di 63mm.

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Ultima Modifica 22/12/2016 14:38 da kamiokande.

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22/12/2016 15:27 #8156 da kamiokande

doktorenko ha scritto: Propongo altre ipotesi:

1) dato sbagliato distanza Terra-Luna
2) la luminosita`/atmosfera della Terra la fa apparire leggermente piu` grande
3) variazione di lunghezza focale dovuta alla messa a fuoco

1) La distanza Terra-Luna "corretta" dovrebbe essere 386330 km, come detto nel mio post precedente.
2) Si può verificare analizzando altre foto come l'Earth rise dell'Apollo 8, oppure il blue marble dell'Apollo 17, per vedere se anche in quei casi dove i contorni sono più netti si ha uno scostamento simile.
3) Anche questo è possibile ma non verificabile. Personalmente trovo il discorso della messa a fuoco una bella gatta da pelare per gli astronauti che non avevano il finder sulla Hasselblad, eppure la gran parte delle foto sono praticamente perfette "grazie agli appositi training che gli astronauti avrebbero seguito" (come dicono i debunkers).

Per curiosita` ho provato anche a calcolare lo schiacciamento polare: nell`ipotesi migliore (entrambi i poli visibili dalla Luna) dovrebbe essere di 0.7 pixel circa.


Direi che è fisicamente consistente. La differenza tra il raggio medio della terra ed il raggio polare dovrebbe essere intorno allo 0.2% quindi la Terra è praticamente sferica.

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23/12/2016 11:58 #8168 da doktorenko

kamiokande ha scritto: 1) La distanza Terra-Luna "corretta" dovrebbe essere 386330 km, come detto nel mio post precedente.


Come e` calcolata? perche` a noi interessa la distanza superficie Luna-centro Terra, e non centro-centro (sono circa 2000km di differenza). Per non equivocare possiamo chiamarla "distanza camera-centro sfera inquadrata".

La linea continua rossa è la Terra proiettata sull'immagine con una lunghezza focale di 60mm


Attento perche` la lunghezza focale dovrebbe essere di 61.1 mm e non 60. La tua immagine conferma comunque un leggero scostamento tra i dati e la fotografia, imprecisione che si puo` spiegare forse con pochi mm di messa a fuoco, anche se il soggetto all`infinito dovrebbe essere fotografato usando la lunghezza focale nativa della camera, che e` appunto 61.1 mm; quindi potrebbe essere pure un`immagine fuori fuoco

Per quanto riguarda il contributo dell`atmosfera-luminosita` bisognerebbe scontornare accuratamente la Terra dall`alone circostante; come hai proceduto tu per l`identificazione della sagoma?

Adesso sto cercando di raddrizzare la Terra, proiettando a ritroso la sua immagine su di un piano inclinato di un angolo delta rispetto a quello della pellicola; la Terra cosi` raddrizzata dovrebbe essere perfettamente circolare. Lo scopo dell`operazione e` duplice: verificarne la forma corretta e poter lavorare piu` comodamente sull`immagine, ad esempio per scontornarla piu` accuratamente.

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23/12/2016 15:25 #8170 da kamiokande

Come e` calcolata?

Non sono sicuro al 100% ma da quel che ho trovato su internet e da quel che si vede usando il programma è la distanza dall'osservatore (in questo caso dalla superficie della Luna nel landing site dell'Apollo 11) al centro dell'oggetto osservato, quindi per questo ho detto che è la distanza corretta.

Per quanto riguarda il contributo dell`atmosfera-luminosita` bisognerebbe scontornare accuratamente la Terra dall`alone circostante; come hai proceduto tu per l`identificazione della sagoma?

Ho usato l'algoritmo automatico di WebPlotDigitizer. Per sicurezza ho definito un contorno manuale dopo aver applicato con Gimp un filtro sharpen alla foto originale per avere un contorno più netto.




La differenza come puoi vedere non è così apprezzabile (c'è un maggiore scostamento dal perimetro ma personalmente mi fido di più della nuvola di punti generati in automatico da WebPlotDgitizer).



Ho corretto la lunghezza focale a 61.1mm ed ora l'errore è del 3%. Ho anche aggiunto i fuochi dell'ellisse proiettato (i marker * neri) per dare una idea dell'eccentricità.

Come ho già detto, considerando tutti i passaggi effettuati , un errore del 3% è più che giustificato (vendendolo ora con una lunghezza focale di 61.1mm mi pare che la differenza sia data solo dall'atmosfera), quindi non vedo il motivo di accanirsi tanto. Credo che abbiamo smentito i Moon Hoaxer che parlano di una Terra troppo piccola nelle foto, questo con somma gioia dei debunkers :baby: .

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23/12/2016 16:40 #8171 da FranZeta

doktorenko ha scritto:
E io ho pure una formazione classica, ma ho capito il tuo procedimento; con quello speculare (cubo obliquo e piano yz) l`equazione dell`ellisse mi risulta:

x^2 (cos^2(δ) - sin^2(δ) tan^2(ρ)) - 2 f x tan(δ) tan^2(ρ) + y^2=f^2 sec^2(δ) tan^2(ρ)

Questa sicuramente non è corretta perchè per rho=delta non si annulla il termine a destra, quindi non fornisce una curva passante per l'origine.

Per il momento teniamo per buona l`equazione (2): questa dovrebbe essere la curva parametrica dell`ellisse nella forma Cx+cos(t)*r Cy+sin(r)*r; con Cx,Cy il centro della sfera nell`immagine proiettata, e non il centro dell`ellisse.


Credo che bisognerebbe stabilire un po' di rigore matematico. Il tuo sforzo doktorenko è encomiabile, però i risultati sono approssimazioni, per esempio l'equazione 2) non è un'ellisse, è una quartica, che in effetti per valori non troppo grandi di rho fornisce una buona approssimazione dell'ellisse che cerchiamo. Al crescere dell'angolo rho le cose cambiano:

qui ho usato rho=45°, quindi per una sfera che occupa praticamente tutta l'inquadratura (sempre spostata di 15° dal centro) si nota un certo sfasamento...



...qui invece con rho=65° si vede una specie di campanella di natale. Detto questo, per i valori di rho che ci interessano può anche andare bene, anche se non capisco l'utilità di continuare a usare un'equazione che non fornisce indicazioni dirette nè sul centro nè sugli assi della conica, avendo a disposizione le equazioni parametriche standard, non approssimate per di più.

A dire il vero è tutto il procedimento che non condivido: che senso ha perdere tanto tempo a ricavare delle equazioni il più possibile esatte quando poi le usiamo per un confronto a occhio con degli scorrevoli di geogebra? Per me i procedimenti possibili sono 2:

-quello usato da kamiokande, con l'ausilio di software specifici e senza sbattersi più di tanto a calcolare proiezioni e sezioni;

-quello fai-da-te usando geogebra che vado a illustrare adesso.

Visto che l'equazione implicita della proiezione della sfera ce l'abbiamo, se vogliamo sfruttarla a dovere ecco un metodo. Partiamo dalla foto dimensionata e centrata giusta, cosa di cui io non dispongo (a questo proposito: non vedo più le foto di doktorenko, le mie e quelle di kamiokande invece le vedo), e usiamo lo strumento "conica per 5 punti" di geogebra. Approssimazione per approssimazione, facciamo questa e poi usiamo solo equazioni esatte. Allora il risultato sarà l'equazione implicita di una ellisse, da questa si ricava immediatamente il centro (e quindi R, lo scostamento in mm dal centro dell'immagine) e l'angolo alfa. Ruotiamo l'ellisse in modo da metterci nella comoda situazione alfa=0, e dividiamo tutti i termini per il coefficiente di y^2. Questo serve per fissare l'equazione implicita fra le infinite che differiscono per una costante moltiplicativa.

Ora prendiamo l'equazione implicita 3) del commento #8123 e anche in questa dividiamo tutti i termini per il coefficiente di y^2, cioè (1+R^2/F^2). Adesso uguagliando i coefficienti dei termini x^2, x, 1 (termine noto) delle due equazioni implicite abbiamo a disposizione tre equazioni nelle due incognite r e F e possiamo o cercare di risolverle direttamente, ma non è detto che il sistema abbia soluzioni esatte, ricordiamoci che abbiamo usato delle approssimazioni, oppure tracciare le tre curve corrispondenti e cercare una (o più) intersezioni comuni a tutte e tre, se non ci fossero possiamo facilmente stimare i punti che più ci vanno vicini e leggere nel piano i relativi valori approssimati di r e F. Altrimenti volendo essere ancora più rigorosi si può cercare una soluzione approssimata "esatta" nel senso dei minimi quadrati, ma non mi sembra il caso.

Fatto ciò possiamo controllare se i valori trovati per la focale e il raggio terrestre apparente sono consistenti con i dati reali. Però a questo punto io tenderei a fidarmi del lavoro di kamiokande: se la differenza tra focale teorica e focale calcolata è nell'ordine dei 2 mm direi che è ampiamente dentro la tolleranza e può essere spiegata con la somma di diversi fattori (messa a fuoco, dilatazione termica, ecc.) del tutto normali.

FranZη

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23/12/2016 18:32 #8173 da doktorenko

FranZeta ha scritto:

doktorenko ha scritto:
... cubo obliquo e piano yz, l`equazione dell`ellisse mi risulta:

x^2 (cos^2(δ) - sin^2(δ) tan^2(ρ)) - 2 f x tan(δ) tan^2(ρ) + y^2=f^2 sec^2(δ) tan^2(ρ)

Questa sicuramente non è corretta perchè per rho=delta non si annulla il termine a destra, quindi non fornisce una curva passante per l'origine.


Si` pero` nella mia costruzione (messaggio #8111) l`ellisse risultante e` sempre centrale (anche se non posizionata perfettamente al centro), perche` l`asse del cono obliquo passa per (0,0,0): ho dimenticato di traslarla.

Credo che bisognerebbe stabilire un po' di rigore matematico.

Ti do ragione, anzi, fai bene a bacchettarmi! Ho aperto appositamente questa discussione perche` spesso leggevo delle affermazioni tipo: "si vede benissimo che la Terra e` molto piu` piccola!". E io pensavo allora: "se si vede benissimo ad occhio, sara` anche possibile in qualche modo calcolarlo, e avere cosi` una prova inoppugnabile". Pero` nessuno poi faceva questo benedetto conto...

Nel mesaggio #8127 pero` avevo scritto di aver intenzione di alleggerire per un po` la discussione, postando finalmente delle immagini, per interrompere questi infiniti preliminari matematici (che sono pero` doverosi).

Il tuo sforzo doktorenko è encomiabile, però i risultati sono approssimazioni, per esempio l'equazione 2) non è un'ellisse, è una quartica, che in effetti per valori non troppo grandi di rho fornisce una buona approssimazione dell'ellisse che cerchiamo. Al crescere dell'angolo rho le cose cambiano...


Io ho provato con gli stessi angoli, ma a me l`ellisse rimane "in forma". Io uso questa equazione (copio direttamente da Geogebra):
F = 61.1
d=tan(δ) F
h=F sec(δ)

r(t)= h sin(ρ) / sin(ρ - acos(sin(δ) cos(t - α)))
Curva[d cos(α) + cos(t) r(t), d sin(α) + sin(t) r(t), t, 0, 2π]

A dire il vero è tutto il procedimento che non condivido: che senso ha perdere tanto tempo a ricavare delle equazioni il più possibile esatte quando poi le usiamo per un confronto a occhio con degli scorrevoli di geogebra? Per me i procedimenti possibili sono 2:


Come ho detto, le ultime analisi che ho inviato erano da considerarsi piu` leggere.

-quello usato da kamiokande, con l'ausilio di software specifici e senza sbattersi più di tanto a calcolare proiezioni e sezioni;
-quello fai-da-te usando geogebra che vado a illustrare adesso.


Adesso sto procedendo in questo modo:

1) raddrizzo l`immagine (come ho scritto sopra), anche se eventualmente questa rotazione potrebbe degradarne la risoluzione
2) calcolo il raggio della circonferenza ottenuta (che dovrebbe essere quasi perfetta) con metodi digitali, magari impostando una soglia di luminosita` che separa la Terra dall`atmosfera, e uso questo raggio come riferimento.

comunque siamo qui apposta, per discutere e per proporre delle soluzioni.

Scusami, se io volessi controllare la mia equazione con la tua del messaggio #8123, come devo scriverla in geogebra, usando la mia convenzione (angolo delta, raggio rho, focale F, ecc.)? potresti riportarla in formato testo, citandola tra i marcatori code? Anche perche` abbiamo visto che le immagini potrebbero sparire, mentre lo scritto no ;-)

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